Пусть $%x$% - вещественное число. А $%y = \{x\}$% - функция взятия дробной части числа (то есть для числа $%x$%, находящегося в промежутке $%[n, n + 1)$%, $%n ∈ ℤ$%, дробная часть равна $%\{x\} = x - n$%). Вопрос, как разложить эту функцию в ряд Фурье?

задан 16 Ноя '11 15:31

изменен 19 Ноя '11 20:12

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Из определения функции следует, что она периодична. Как следствие ряд Фурье пишется для $%f(x) = x$% на открытом интервале $%(0, 1)$%. То есть

$$\begin{equation} \{x\} = \frac{a_0}{2} + \sum \limits_{n=1}^{\infty} ( a_n \cos ( 2 n \pi x ) + b_n \sin ( 2 n \pi x )) \end{equation}$$

где

$$a_n = \int \limits_{0}^{1} x \cos (2 n \pi x) dx$$ $$b_n = \int \limits_{0}^{1} x \sin (2 n \pi x) dx$$

Итого

$$\{x\} \sim \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (2 n \pi x)}{n \pi}$$

ссылка

отвечен 17 Ноя '11 15:40

изменен 19 Ноя '11 20:11

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

Слегка следует подправить ответ $$\{x\} =\frac {1}{2}- \sum \limits_{n=1}^{\infty} \frac{\sin (2 n \pi x)}{n \pi}$$

ссылка

отвечен 8 Янв '12 21:31

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×45

задан
16 Ноя '11 15:31

показан
1631 раз

обновлен
8 Янв '12 21:31

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru