Прошу помощи с задачей.

Установить изоморфизм $% \mathbb{Q} $%-алгебр $% \mathbb{Q}(\sqrt p) \otimes_\mathbb{Q} \mathbb{Q}(\sqrt q) $% и $% \mathbb{Q}(\sqrt p + \sqrt q) $%, где $%p$% и $%q$% - различные простые целые числа.

задан 19 Фев '16 22:56

10|600 символов нужно символов осталось
1

Прежде всего, можно отметить, что $%\mathbb Q(\sqrt{p}+\sqrt{q})=\mathbb Q(\sqrt{p},\sqrt{q})$%. Это следует из того, что $%\sqrt{p}-\sqrt{q}=\frac{p-q}{\sqrt{p}+\sqrt{q}}$%, и оба корня рационально выражаются через их сумму.

Тензорное произведение алгебр устроено так: как векторное пространство над $%\mathbb Q$% оно имеет базис $%1\otimes1$%, $%\sqrt{p}\otimes1$%, $%1\otimes\sqrt{q}$%, $%\sqrt{p}\otimes\sqrt{q}$%. Базисные элементы перемножаются по правилу $%(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2)=(a_1a_2)\otimes(b_1b_2)$%.

Рассмотрим отображение линейных пространств $%\mathbb Q(\sqrt{p})\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q(\sqrt{q})\to\mathbb Q(\sqrt{p},\sqrt{q})$%, которое на базисных элементах тензорного произведения действует как $%1\otimes1\mapsto1$%, $%\sqrt{p}\otimes1\mapsto\sqrt{p}$%, $%1\otimes\sqrt{q}\mapsto\sqrt{q}$%, $%\sqrt{p}\otimes\sqrt{q}\mapsto\sqrt{pq}$%. Это изоморфизм линейных пространств, поскольку $%\mathbb Q(\sqrt{p},\sqrt{q})$% как векторное пространство имеет базис $%1$%, $%\sqrt{p}$%, $%\sqrt{q}$%, $%\sqrt{pq}$% над полем рациональных чисел. Рассматривая произведение базисных элементов тензорного произведения, мы видим, что оно переходит в произведение образов, то есть мы имеем изоморфизм алгебр.

ссылка

отвечен 19 Фев '16 23:40

изменен 19 Фев '16 23:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,202
×873
×391
×235
×48

задан
19 Фев '16 22:56

показан
464 раза

обновлен
19 Фев '16 23:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru