теория-групп - Алгебра: установить изоморфизм Q-алгебр

Прежде всего, можно отметить, что $%\mathbb Q(\sqrt{p}+\sqrt{q})=\mathbb Q(\sqrt{p},\sqrt{q})$%. Это следует из того, что $%\sqrt{p}-\sqrt{q}=\frac{p-q}{\sqrt{p}+\sqrt{q}}$%, и оба корня рационально выражаются через их сумму.

Тензорное произведение алгебр устроено так: как векторное пространство над $%\mathbb Q$% оно имеет базис $%1\otimes1$%, $%\sqrt{p}\otimes1$%, $%1\otimes\sqrt{q}$%, $%\sqrt{p}\otimes\sqrt{q}$%. Базисные элементы перемножаются по правилу $%(a_1\otimes b_1)(a_2\otimes b_2)=(a_1a_2)\otimes(b_1b_2)$%.

Рассмотрим отображение линейных пространств $%\mathbb Q(\sqrt{p})\otimes_{\mathbb Q}\mathbb Q(\sqrt{q})\to\mathbb Q(\sqrt{p},\sqrt{q})$%, которое на базисных элементах тензорного произведения действует как $%1\otimes1\mapsto1$%, $%\sqrt{p}\otimes1\mapsto\sqrt{p}$%, $%1\otimes\sqrt{q}\mapsto\sqrt{q}$%, $%\sqrt{p}\otimes\sqrt{q}\mapsto\sqrt{pq}$%. Это изоморфизм линейных пространств, поскольку $%\mathbb Q(\sqrt{p},\sqrt{q})$% как векторное пространство имеет базис $%1$%, $%\sqrt{p}$%, $%\sqrt{q}$%, $%\sqrt{pq}$% над полем рациональных чисел. Рассматривая произведение базисных элементов тензорного произведения, мы видим, что оно переходит в произведение образов, то есть мы имеем изоморфизм алгебр.