Доказать, что в свободной группе ранга $%F_k = F(x_1,..., x_n)$% все слова с суммой показателей по каждой переменной кратна $%n$% образуют нормальную подгруппу $%H_n$%, совпадающую с подгруппой $%F_k$%, порожденной элементами коммутанта $%F_k$% и всеми элементами $%x_1^n, ..., x_k^n$%.

задан 19 Фев '16 23:38

10|600 символов нужно символов осталось
2

У элементов коммутанта сумма показателей степеней по каждой из переменных равна нулю (обратное также верно, то есть это эквивалентное описание). Поэтому она кратна $%n$%. Для элементов вида $%x_i^n$% это свойство тоже выполнено. Поэтому подгруппа, порождённая коммутантом и степенями (пусть это будет $%K_n$%), содержится в $%H_n$%.

Докажем обратное. Рассмотрим произвольный элемент из $%H_n$% как произведение образующих вида $%x_i^{\pm1}$%. По модулю коммутанта сомножители можно переставлять, и это произведение будет равно $%x_1^{d_1}...x_k^{d_k}$%, где $%d_i$% есть (алгебраическая) сумма показателей степеней при $%x_i$%. Все эти показатели кратны $%n$%. Отсюда следует, что $%H_n$% содержится в $%K_n$%.

То, что подгруппа нормальна, следует из её описания: сопряжение не меняет сумму показателей степеней при образующих. Можно также заметить, что $%H_n$% является ядром гомоморфизма $%\mathbb F_k$% на $%\mathbb Z_n^k$%, о котором шла речь в одной из задач.

ссылка

отвечен 19 Фев '16 23:58

изменен 19 Фев '16 23:59

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,150
×866
×385
×234

задан
19 Фев '16 23:38

показан
478 раз

обновлен
19 Фев '16 23:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru