|
Точки A,B,C,D,E последовательно расположены на прямой , причем AB=CD=1, BC=DE=2. Окружности о и о1, касающиеся друг друга, таковы, что о проходит через точки A и E, а о1 проходит через В и С. найдите радиусы окружностей, если их центры и точка D лежат на одной прямой. задан 20 Фев '16 9:04 
Даниил Ребянин |
|
Проекция точки $%O$% на прямую равна $%C$%, а проекцией точки $%O_1$% будет середина $%K$% отрезка $%BC$%. Полагаем $%x=OC$%. Треугольники $%OCD$% и $%O_1KD$% подобны, поэтому $%O_1K=2x$% за счёт того, что $%KD:CD=2$%. По теореме Пифагора, радиусы окружностей с центрами $%O$% и $%O_1$% равны $%\sqrt{x^2+9}$% и $%\sqrt{4x^2+1}$% соответственно. Расстояние между центрами окружностей тоже находится через теорему Пифагора, и оно равно $%\sqrt{x^2+1}$%. Касание окружностей означает, что расстояние между центрами равно сумме радиусов, или модулю разности между ними. Первый случай здесь невозможен, так как $%\sqrt{x^2+9} > \sqrt{x^2+1}$%. Поэтому имеет место равенство $%|\sqrt{x^2+9}-\sqrt{4x^2+1}|=\sqrt{x^2+1}$%. Возводя в квадрат и упрощая, получаем $%x^2=\frac{45}{76}$%. Отсюда находим оба радиуса. Они равны $%\frac{27}{\sqrt{76}}=\frac{27}{2\sqrt{19}}$% и $%\frac{16}{\sqrt{76}}=\frac8{\sqrt{19}}$%. отвечен 20 Фев '16 15:55 
falcao |