Точки A,B,C,D,E последовательно расположены на прямой , причем AB=CD=1, BC=DE=2. Окружности о и о1, касающиеся друг друга, таковы, что о проходит через точки A и E, а о1 проходит через В и С. найдите радиусы окружностей, если их центры и точка D лежат на одной прямой.

задан 20 Фев '16 9:04

10|600 символов нужно символов осталось
1

Проекция точки $%O$% на прямую равна $%C$%, а проекцией точки $%O_1$% будет середина $%K$% отрезка $%BC$%. Полагаем $%x=OC$%. Треугольники $%OCD$% и $%O_1KD$% подобны, поэтому $%O_1K=2x$% за счёт того, что $%KD:CD=2$%. По теореме Пифагора, радиусы окружностей с центрами $%O$% и $%O_1$% равны $%\sqrt{x^2+9}$% и $%\sqrt{4x^2+1}$% соответственно.

Расстояние между центрами окружностей тоже находится через теорему Пифагора, и оно равно $%\sqrt{x^2+1}$%. Касание окружностей означает, что расстояние между центрами равно сумме радиусов, или модулю разности между ними. Первый случай здесь невозможен, так как $%\sqrt{x^2+9} > \sqrt{x^2+1}$%. Поэтому имеет место равенство $%|\sqrt{x^2+9}-\sqrt{4x^2+1}|=\sqrt{x^2+1}$%. Возводя в квадрат и упрощая, получаем $%x^2=\frac{45}{76}$%. Отсюда находим оба радиуса. Они равны $%\frac{27}{\sqrt{76}}=\frac{27}{2\sqrt{19}}$% и $%\frac{16}{\sqrt{76}}=\frac8{\sqrt{19}}$%.

ссылка

отвечен 20 Фев '16 15:55

изменен 20 Фев '16 15:56

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,710
×670
×242

задан
20 Фев '16 9:04

показан
572 раза

обновлен
20 Фев '16 15:56

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru