тригонометрия - Решите уравнение

Преобразуем числитель и знаменатель: $%\cos5x-\cos7x=2\sin6x\sin x=4\sin3x\cos3x\sin x$%; $%\sin4x+\sin2x=2\sin3x\cos x$%. В итоге получится $%\frac{\cos3x\sin x}{\cos x}=|\sin2x|=2|\sin x\cos x|$%, где $%\sin3x\ne0$%. В частности, $%\sin x\ne0$%. Также $%\cos x\ne0$%, и координатные оси можно исключить из рассмотрения. Далее рассматриваем два случая.

1) Угол $%x$% принадлежит I или III координатной четверти. Сокращая на синус, имеем $%\cos3x=2\cos^2x$%, то есть $%4t^3-3t=2t^2$%, где $%t=\cos x\ne0$%. Решая квадратное уравнение после сокращения на $%t$%, имеем корни $%t_{1,2}=\frac{1\pm\sqrt{13}}4$%, где одно из чисел по модулю больше единицы. Отсюда $%\cos x=\frac{1-\sqrt{13}}4$%, это угол третьей четверти, то есть $%x=-\arccos(\frac{1-\sqrt{13}}4)+2\pi k$%, где $%k$% целое.

2) Угол $%x$% принадлежит II или IV координатной четверти. Здесь мы аналогично получаем $%\cos3x=-2\cos^2x$%, то есть $%4t^3-3t=-2t^2$%, где $%t=\cos x\ne0$%. Решая квадратное уравнение после сокращения на $%t$%, имеем корни $%t_{1,2}=\frac{-1\pm\sqrt{13}}4$%, откуда $%\cos x=\frac{-1+\sqrt{13}}4$%. Это угол четвёртой четверти, то есть $%x=-\arccos(\frac{-1+\sqrt{13}}4)+2\pi k$%, где $%k$% целое.

При желании, можно две серии решений объединить в одну.