На эллипсе $%\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$% найти точку, для которой произведение её фокальных радиусов-векторов равно квадрату малой полуоси.

задан 23 Фев '16 21:28

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%a > b$%. Сумма расстояний от точки эллипса до фокусов постоянна и равна $%2a$%. Если один фокальный радиус равен $%d$%, то второй будет $%2a-d$%. При перемножении получается $%d(2a-d)=b^2$%, то есть $%(d-a)^2=a^2-b^2$%. Следовательно, $%d=a\pm\sqrt{a^2-b^2}$%.

Здесь будет проще заметить, что сумма расстояний до фокусов равна $%d_1+d_2=2a$%, произведение равно $%d_1d_2=b^2$%, поэтому сумма квадратов расстояний составит $%d_1^2+d_2^2=(d_1+d_2)^2-2d_1d_2=4a^2-2b^2$%. Теперь можно взять точку $%(x,y)$% на эллипсе и рассмотреть сумму квадратов расстояний от неё до фокусов, координаты которых нам известны: $%(\pm\sqrt{a^2-b^2};0)$%. Получится $%(x-\sqrt{a^2-b^2})^2+y^2+(x+\sqrt{a^2-b^2})^2+y^2=4a^2-2b^2$%, то есть $%x^2+y^2+a^2-b^2=2a^2-b^2$%, то есть $%x^2+y^2=a^2$%.

Теперь можно было бы решить систему из двух линейных уравнений относительно $%x^2$% и $%y^2$%, получая как следствие, что $%y=0$%. Но проще увидеть геометрически, что эллипс пересекается с окружностью по двум крайним точкам на оси абсцисс. Таким образом, получаются точки $%(\pm a;0)$%.

ссылка

отвечен 25 Фев '16 1:28

10|600 символов нужно символов осталось
0

Записав произведение фокальных радиусов как произведение линейных функций от x, равное квадрату малой полуоси, находим точки $%(\pm a,0)$%

ссылка

отвечен 24 Фев '16 23:26

@abc: а почему эти функции будут линейными от х?

P.S. Кажется, я понял: имелось в виду, что функции линейны относительно расстояния до одного из фокусов, а не относительно абсциссы х.

(25 Фев '16 1:14) falcao

Я имел ввиду следующее: $%d_1=a-\varepsilon x$% и $%d_2=a+\varepsilon x$%. Где $%\varepsilon$% эксцентриситет эллипса. То есть расстояния от любой точки эллипса до фокуса линейны относительно $%x$%. Единственное условие чтобы точка лежала на эллипсе!

(25 Фев '16 12:09) abc

@abc: да, я понял. Честно говоря, поначалу просто не осознал, что расстояния линейно зависят от абсциссы.

(25 Фев '16 13:22) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,399
×1,724
×790

задан
23 Фев '16 21:28

показан
1000 раз

обновлен
25 Фев '16 13:22

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru