|
Дан куб, на каждом ребре которого отметили его середину. Известно, что некоторая сфера прошла через шесть из отмеченных середин. Верно ли, что эта сфера проходит через все отмеченные середины? А что будет, если в начале сфера проходила через семь отмеченных середин, будет ли она проходить через все отмеченные середины? задан 24 Фев '16 23:18 
Mashenka |
|
Легко построить сечение куба, проходящее через 6 середин отрезков, проводя плоскость перпендикулярно одной из больших диагоналей. В сечении возникает правильный 6-угольник. Любая точка на перпендикуляре к плоскости сечения, проходящем через его центр, равноудалена от вершин. Поэтому через эти 6 вершин проходит бесконечно много сфер. Среди них есть такие, которые через остальные точки не проходят. Если взять 7 точек из 12, то они не могут все лежать в одной плоскости. Это следует из того, что у куба 6 граней, и плоскость сечения пересекает не более 6 из них. Поэтому в сечении получается многоугольник с числом сторон, которое не больше 6, а число вершин равно числу сторон. Таким образом, среди 7 точек найдутся 4, не лежащие в одной плоскости. Через такие 4 точки проходит единственная сфера. Она совпадает со сферой, проходящей через все 12 точек (её центр находится в центре куба). отвечен 25 Фев '16 13:00 
falcao |