Дан куб, на каждом ребре которого отметили его середину. Известно, что некоторая сфера прошла через шесть из отмеченных середин. Верно ли, что эта сфера проходит через все отмеченные середины? А что будет, если в начале сфера проходила через семь отмеченных середин, будет ли она проходить через все отмеченные середины?

задан 24 Фев '16 23:18

изменен 25 Фев '16 14:51

10|600 символов нужно символов осталось
0

Легко построить сечение куба, проходящее через 6 середин отрезков, проводя плоскость перпендикулярно одной из больших диагоналей. В сечении возникает правильный 6-угольник. Любая точка на перпендикуляре к плоскости сечения, проходящем через его центр, равноудалена от вершин. Поэтому через эти 6 вершин проходит бесконечно много сфер. Среди них есть такие, которые через остальные точки не проходят.

Если взять 7 точек из 12, то они не могут все лежать в одной плоскости. Это следует из того, что у куба 6 граней, и плоскость сечения пересекает не более 6 из них. Поэтому в сечении получается многоугольник с числом сторон, которое не больше 6, а число вершин равно числу сторон.

Таким образом, среди 7 точек найдутся 4, не лежащие в одной плоскости. Через такие 4 точки проходит единственная сфера. Она совпадает со сферой, проходящей через все 12 точек (её центр находится в центре куба).

ссылка

отвечен 25 Фев '16 13:00

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,690
×1,073
×470

задан
24 Фев '16 23:18

показан
562 раза

обновлен
25 Фев '16 14:51

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru