Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой. Мне бы понять, как это делать...

$$5x^{2} + 8xy + 5y^{2} + \sqrt{2}x - \sqrt{2}y - 4 = 0$$

задан 15 Окт '12 21:23

изменен 16 Окт '12 12:17

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
2

alt text

Решим задачу в общем случае: $%ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0.$% Решая систему уравнений $%\left\{\begin{array}{rcl} ax_0+by_0+d=0\\bx_0+cy_0+e=0\\\end{array}\right.$%, находите координаты центра кривой, заменой $%x'=x-x_0,y'=y-y_0$% удаляются члены первой степени. получается: $%a(x')^2+2b'x'y'+c(y')^2+f'=0$%, поворачиваете на угол $%\alpha=\frac{1}{2}arctg\frac{b}{a-c}$% по формулам поворота:$%\left\{\begin{array}{rcl} x'=x''\cos\alpha-y''\sin\alpha\\y'=x''\sin\alpha+y''\cos\alpha\\\end{array}\right.,$% получается уравнение эллипса с осями, параллельными осям координат. Выполняя обратные преобразования, находите кривую в исходной системе.

ссылка

отвечен 15 Окт '12 21:57

изменен 16 Окт '12 7:50

@aapetrov3 извините, но я не понимаю откуда что берется. Если Вам не трудно, можете поподробней описать процесс выполнения задания, у меня не одно такое уравнение, мне очень необходимо понять, как это выполняется

(16 Окт '12 0:38) Global

@aapetrov3 еще 1 вопрос возник. После уничтожение члена с xy у меня осталось 9x^2 + y^2 = 4, точки центра x0 = -sqrt(2)/2 и y = sqrt(2)/2 чтоб убрать член с ху мне пришлось за альфу взять угол П/4. Что делать дальше? Если я полученное кон уре поверну на П/4 у меня получится график симметричный относительно оси оу Вашему. И еще одно, построить график в исходной системе - это просто начертить 9x^2 + y^2 = 4?

(20 Окт '12 22:22) Global

Построить график в исходной системе-это проделать с этим эллипсом обратные преобразования. Координат центра у меня такие же, а вы видимо где-то потеряли минус.

(21 Окт '12 8:11) dmg3

@aapetrov3 как я понял 9x^2 + y^2 = 4 - это уже повернутое уравнение на п/4. Если так считать то все правильно.

(21 Окт '12 19:15) Global
10|600 символов нужно символов осталось
1

Мне больше нравится преобразование в обратном порядке: сначала сделать поворот ("убрать" член с xy), а потом делать сдвиг простым выделением полного квадрата.

А как нужно решать: алгебраически (через собственные векторы) или геометрически (через углы)?

Если алгебраически, надо подсчитать собственные значения матрицы $%\Big(\begin{matrix} 5 & 4\\4 & 5\end{matrix}\Big)$%, т.е. корни характеристического уравнения $%\Big|\begin{matrix} 5-\lambda & 4\\4 & 5-\lambda\end{matrix}\Big|=(5-\lambda)^2-4^2=0$%. Эти корни - $%\lambda = 1, \lambda = 9$%. Первому соответствует собственный вектор (1, -1), второму - (1, 1). Чтобы их нормировать, надо поделить их на $%\sqrt 2$%.

Итак, можно взять $%x = (u - v)/\sqrt 2, y = (u + v)/\sqrt 2$%. После подстановки в исходное уравнение останутся только квадраты, члена uv не будет.

Далее надо просто выделить полные квадраты, чтобы "убрать" первые степени переменных u и v.

ссылка

отвечен 15 Окт '12 23:31

изменен 16 Окт '12 17:05

10|600 символов нужно символов осталось
1
ссылка

отвечен 16 Окт '12 20:36

изменен 16 Окт '12 21:39

За сервис благодарю безмерно!

(21 Окт '12 19:13) Global
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×711

задан
15 Окт '12 21:23

показан
5903 раза

обновлен
21 Окт '12 19:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru