|
Выполнив последовательно преобразования координат: поворот, а затем параллельный перенос координатных осей, преобразовать к каноническому виду уравнение кривой второго порядка и построить ее в исходной системе координат, а также найти параметры кривой. Мне бы понять, как это делать... $$5x^{2} + 8xy + 5y^{2} + \sqrt{2}x - \sqrt{2}y - 4 = 0$$ задан 15 Окт '12 21:23 
Global |
|
Решим задачу в общем случае: $%ax^2+2bxy+cy^2+2dx+2ey+f=0.$% Решая систему уравнений $%\left\{\begin{array}{rcl} ax_0+by_0+d=0\\bx_0+cy_0+e=0\\\end{array}\right.$%, находите координаты центра кривой, заменой $%x'=x-x_0,y'=y-y_0$% удаляются члены первой степени. получается: $%a(x')^2+2b'x'y'+c(y')^2+f'=0$%, поворачиваете на угол $%\alpha=\frac{1}{2}arctg\frac{b}{a-c}$% по формулам поворота:$%\left\{\begin{array}{rcl} x'=x''\cos\alpha-y''\sin\alpha\\y'=x''\sin\alpha+y''\cos\alpha\\\end{array}\right.,$% получается уравнение эллипса с осями, параллельными осям координат. Выполняя обратные преобразования, находите кривую в исходной системе. отвечен 15 Окт '12 21:57 
dmg3 @aapetrov3 извините, но я не понимаю откуда что берется. Если Вам не трудно, можете поподробней описать процесс выполнения задания, у меня не одно такое уравнение, мне очень необходимо понять, как это выполняется
(16 Окт '12 0:38)
Global
@aapetrov3 еще 1 вопрос возник. После уничтожение члена с xy у меня осталось 9x^2 + y^2 = 4, точки центра x0 = -sqrt(2)/2 и y = sqrt(2)/2 чтоб убрать член с ху мне пришлось за альфу взять угол П/4. Что делать дальше? Если я полученное кон уре поверну на П/4 у меня получится график симметричный относительно оси оу Вашему. И еще одно, построить график в исходной системе - это просто начертить 9x^2 + y^2 = 4?
(20 Окт '12 22:22)
Global
Построить график в исходной системе-это проделать с этим эллипсом обратные преобразования. Координат центра у меня такие же, а вы видимо где-то потеряли минус.
(21 Окт '12 8:11)
dmg3
@aapetrov3 как я понял 9x^2 + y^2 = 4 - это уже повернутое уравнение на п/4. Если так считать то все правильно.
(21 Окт '12 19:15)
Global
|
|
Мне больше нравится преобразование в обратном порядке: сначала сделать поворот ("убрать" член с xy), а потом делать сдвиг простым выделением полного квадрата. А как нужно решать: алгебраически (через собственные векторы) или геометрически (через углы)? Если алгебраически, надо подсчитать собственные значения матрицы $%\Big(\begin{matrix} 5 & 4\\4 & 5\end{matrix}\Big)$%, т.е. корни характеристического уравнения $%\Big|\begin{matrix} 5-\lambda & 4\\4 & 5-\lambda\end{matrix}\Big|=(5-\lambda)^2-4^2=0$%. Эти корни - $%\lambda = 1, \lambda = 9$%. Первому соответствует собственный вектор (1, -1), второму - (1, 1). Чтобы их нормировать, надо поделить их на $%\sqrt 2$%. Итак, можно взять $%x = (u - v)/\sqrt 2, y = (u + v)/\sqrt 2$%. После подстановки в исходное уравнение останутся только квадраты, члена uv не будет. Далее надо просто выделить полные квадраты, чтобы "убрать" первые степени переменных u и v. отвечен 15 Окт '12 23:31 
DocentI |
