http://www.picshare.ru/uploads/160228/4yk1FhZ31i.jpg http://www.picshare.ru/uploads/160228/2ZV1JfSzM0.jpg

Зачем нужна одноименность базисов e3 e3' e1'' и e1 e2 e3, и почему у угла тета ограничение в 0 <= угол <= Пи?

задан 28 Фев '16 10:30

изменен 28 Фев '16 16:14

Никакого отражения здесь не нужно. Применяются только повороты. Если векторы противоположны, то применяется поворот вокруг оси на угол, равный п.

(28 Фев '16 11:40) falcao

@j7565900: это "тарабарщина", в которую я даже не вдумывался. Здесь надо усвоить только идею, в каком порядке делаются повороты, а явную бессмыслицу желательно игнорировать. Возможно, там в оригинале было всё верно, и исказилось в результате опечаток. Об этом можно только гадать. Но ясно, что вектора e'' здесь нигде нет, а e3,e3',... репером может вообще не являться, если e3 и e3' коллинеарны.

(28 Фев '16 12:00) falcao

@j7565900: здесь всё понятно. Рассматриваются векторы e3 и e3'. Если они совпадают, то первый этап пропускаем. Если не совпадают, то рассматриваем общий перпендикуляр d. На этой прямой можно двумя способами выбрать направляющий вектор. Делаем это так, чтобы указанная тройка векторов стала положительно ориентированной. Выбранный вектор обозначается e1''. Замечу, что при перепечатке пропал нижний индекс, и получился вектор e'', которого не было в природе.

(28 Фев '16 12:22) falcao

Нам надо осуществить поворот вокруг оси, чтобы вектор e3 перешёл в e3'. Считаем, что векторы неколлинеарны. Проводим через них плоскость. У неё нет ни "верха", ни "низа". Чтобы задать "верх" однозначно, выбирается одно из направлений по оси d. В тексте сказано, какое именно. Теперь мы смотрим на плоскость как бы сверху. Хотя угол между векторами принимает значение от 0 до п, нам важен их порядок следования. Мы договорились поворачивать на углы от 0 до 2п в одном направлении, то есть против часовой стрелки. Всё это содействует только однозначности преобразований.

(28 Фев '16 12:49) falcao

@falcao зачем нужен верх/низ, ведь нужно определить положительное вращение? Объясните пожалуйста, очень хочется понять. (я еще не сдался)

(28 Фев '16 14:45) j7565900
10|600 символов нужно символов осталось
1

Придётся продолжить пояснения здесь (сейчас закончил писать, и увидел, что получилось очень длинно).

Нужно иметь в виду такую вещь: оба базиса (репера) изначально имеют одну и ту же ориентацию (положительную). При вращениях относительно осей тип ориентации не меняется. Поэтому заботиться о том, чтобы один репер перешёл другой, а не в репер противоположной ориентации, нам не нужно. И рассмотрение вспомогательных реперов положительной ориентации связано не с этим, а совсем с другими вещами.

Прежде всего, при параметризации сферы происходит следующее. Сначала берётся какая-то система координат, и точка сферы проектируется на плоскость $%Oxy$%. Ей при этом соответствует луч, который является образом луча Ox при повороте на некоторый угол. Он определён, вообще говоря, неоднозначно, поэтому нужно принять по этому поводу соглашение, задав границы изменения угла. За основу берётся значение угла из промежутка $%[0;2\pi)$%. Это задаёт "долготу" точки на сфере. При желании, можно было бы принять и иное соглашение, считая угол принадлежащим промежутку $%(-\pi;\pi]$%. В принципе, и такое возможно, но здесь на каком-то из двух соглашений надо остановиться, и решили остановиться на первом. Это удобно хотя бы тем, что значения углов неотрицательны.

Далее, после того, как "долгота" точки фиксирована, задана дуга "меридиана", на котором находится точка. Теперь надо ввести второй параметр: "широту". Понятно, что здесь тоже можно действовать двумя способами: можно измерять угол от $%-\frac{\pi}2$% до $%\frac{\pi}2$%, а можно от $%0$% до $%\pi$%. Например, "северному полюсу" сопоставляем угол $%0$%, точке на "экваторе" угол $%\frac{\pi}2$%, а "южному полюсу" угол $%\pi$%.

Это отвечает на вопрос, почему углы берутся из указанных диапазонов. Надо понимать, что это всего лишь соглашение. Оно могло быть и немного иным, но целью так или иначе являлась параметризация точек сферы.

Теперь по поводу углов вращения. Если просто задана ось, но у неё не указано направление, то вращать на один и тот же угол можно в обе стороны, и обе возможности симметричны. Чтобы отличать одно от другого, можно ввести такой способ. Когда нам дана обычная координатная плоскость $%Oxy$% со стандартно выбранными осями, то положительным направлением вращения считается такое, которое направлено от оси $%Ox$% к оси $%Oy$%, то есть осуществляется против часовой стрелки. Здесь у плоскости уже есть "верх" и "низ", задание которых равноценно выбору ориентации плоскости, а также направлению положительного вращения.

Теперь рассмотрим векторы одинаковой длины (скажем, единичные), и при этом не коллинеарные. Пусть это будут $%e$% и $%e'$%. Мы хотим задать некое вращение пространства, при котором $%e$% переходит в $%e'$%. (Заметим, что в случае совпадения векторов ничего делать не надо, а для противоположно направленных векторов надо их совместить любым вращением на 180 градусов относительно подходящей оси, которая выбирается неоднозначно.) Итак, у нас угол между векторами принадлежит интервалу $%(0;\pi)$%. Из геометрических соображений понятно (и в этом Вы правы), что в этой ситуации всегда можно однозначно задать вращение пространства, переводящее $%e$% в $%e'$%, по принципу выбора угла вращения меньшей величины. Но давайте посмотрим, что при этом реально будет происходить, проводя через два вектора плоскость, и рассматривая общий перпендикуляр $%d$% к ней.

Здесь однозначно определено то, куда и что надо поворачивать в плоскости, и на какой угол. Угол поворота в плоскости может принять отрицательное значение. Однако мы можем плоскость "перевернуть", глядя на неё с другой стороны, и тогда угол поворота в плоскости со сменённой ориентацией, станет положительным. Осталось понять, что в таком случае может быть плохо.

Дело в том, что при рассмотрении вращений в пространстве, все эти оси и углы вводятся для того, чтобы далее можно было вычислять. Одной геометрии здесь уже мало: даже если мы выполнили два вращения на известные нам оси и на известное нам значение угла, в результате композиции движений, мы получим что-то, природу чего можно понять только через вычисления. А именно, на какой угол и вокруг какой оси всё повернулось. Для этого нужно составить матрицы двух вращений, перемножить их, а у произведения найти собственный вектор вращения.

Таким образом, нам придётся работать с матрицами. Их коэффициенты будут включать в себя косинусы и синусы углов. При этом важным требованием является непрерывная зависимость коэффициентов. Если угол был равен 60 градусам, а стал равен 61, то коэффициенты должны измениться незначительно. В противном случае будут возникать разные трудности аналитического свойства.

Теперь представим себе векторы $%e$% и $%e'$%, угол между которыми был близок к 180 градусам -- например, он был равен 179 градусам. Изменим их положение чуть-чуть, вращая один из векторов так, что угол поворота будет увеличиваться, переходя через 180, и становясь равным 181 градусу. При старом соглашении коэффициенты матриц почти не изменятся. При Вашем же соглашении окажется, что угол между векторами стал равен 179 градусам, но уже в другую сторону, и тогда надо переворачивать все оси и записывать новую матрицу поворота, коэффициенты которой будут отличаться очень существенно из-за смены координатных осей. По этой причине, такое соглашение может оказаться менее удобным, и потребует какого-то пересчёта.

Вообще, когда речь идёт о вещах уровня соглашений, уместно всегда соглашаться с авторами и делать так, как они предлагают. Ясно, что соглашения обычно неоднозначны, и где-то можно поменять "право" и "лево". Но преимуществ это никаких не даст, и можно "огрести" какие-то дополнительные трудности.

ссылка

отвечен 28 Фев '16 16:35

@falcao Большое спасибо за ответ. Получается что автор выбрал именно такой (плохой) способ кратчайшего угла 180 и именно для одного угла? И если широта так задана, то это только полусфера. "И рассмотрение вспомогательных реперов положительной ориентации связано не с этим, а совсем с другими вещами" - а с чем? У меня были предположения, что находя вспомогательный базис он выбирает направление вектора на прямой d так, что вектора e3 до e3' можно было повернуть кратчайшим способом. Но как так получается, я еще не понял. (Ведь вектор d задает положительное направление вращение плоскости 0e3e3').

(28 Фев '16 18:28) j7565900

@j7565900: там получается сфера, потому что вдоль меридиана угол меняется от 0 до $%\pi$%. Все точки от северного до южного полюса мы проходим.

Не вижу оснований, чтобы авторский способ считать "плохим".

Как я уже говорил, вспомогательные реперы нужны для однозначности самого построения. Выбор направления вектора на оси d обусловлен не кратчайшим способом поворота, а тем, чтобы получалась непрерывная зависимость всего происходящего от положения векторов. Третья ось этим "привязывается" к векторам e3, e3': это можно "ощутить" на геометрическом уровне. Это направление векторного произведения.

(28 Фев '16 19:41) falcao

@falcao поправьте меня пожалуйста, если я представляю это не правильно. Повернули по рисунку во круг e3 на угол F [0; 2Пи), и e1 перешел в e1", но пока еще не крутим во круг вектора e1" на угол тета [0; Пи]. Тк вектор e3 перпендикулярен вектору e1", то у него в такой полярной системе будет угол 0, а вектора e3 * (-1) угол Пи. Это половинка круга. К другой половинке этого круга можно попасть только если e1" * (-1). Получается что направление вектора e1" прямой d задает (в этом смысле) нашу половинку? Я пытаюсь совместить идеи описанных полярных координат и совмещения двух прямоугольных базисов.

(29 Фев '16 15:13) j7565900

@j7565900: мне не очень понятно, чего Вы пытаетесь добиться, и зачем совмещать какие-то идеи. Всё очень просто, если говорить словами. Мы сначала совмещаем третьи векторы реперов. Тогда первые два оказываются в перпендикулярной плоскости, они одноимённые, и переводятся друг в друга поворотом. Больше ничего за этим рассуждением не стоит. Остальное -- только обозначения. Исследовать тут просто нечего.

(29 Фев '16 18:13) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×793
×36

задан
28 Фев '16 10:30

показан
479 раз

обновлен
29 Фев '16 18:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru