Найти целую часть выражения $%\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{2+\sqrt[3]{3+...\sqrt[3]{2011+\sqrt[3]{2012}}}}}.$%

задан 17 Окт '12 17:48

изменен 17 Окт '12 18:12

1

Целая часть равна единице

(17 Окт '12 20:58) Lyudmyla

Почему? Нужно пояснить.

(18 Окт '12 13:18) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
3

Обозначим $%a_1=\sqrt[3]{2012},a_2=\sqrt[3]{2011+a_1}, a_3=\sqrt[3]{2010+a_2},..., a_n=\sqrt[3]{2013-n+a_{n-1}}, ...,$% $% a_{2012}=\sqrt[3]{1+a_{2011}}=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{2+\sqrt[3]{3+...\sqrt[3]{2011+\sqrt[3]{2012}}}}}. $%

Очевидно, что $%а_1<13$%, а $% a_{2012}>1$%. Докажем что $% a_{2012}<2$%.
Если $%a_{n}>k\Rightarrow \sqrt[3]{2013-n+a_{n-1}}>k \Rightarrow 2013-n+a_{n-1}>k^3$% $%\Rightarrow a_{n-1}>k^3+n-2013.$% Допустим что $%a_{2012}\ge 2 \Rightarrow a_{2011}\ge 7 \Rightarrow a_{2010}\ge 341 \Rightarrow a_{2009}\ge 341^3-3=39651818, ...$%. Так-как при $%1\le n \le 2012\Rightarrow n-2013\in (-2012,-1),$%,(вычитаемое становится все больше,а уменьшаемое остается в промежутке $%(1;2012)$%), отсюда следует, что $%а_1 > 13.$%Это притиворечие. Значит$%1< a_{2012}<2\Rightarrow [a_{2012}]=1.$%

ссылка

отвечен 17 Окт '12 22:30

изменен 17 Окт '12 23:04

У Вас в решении меньше "наворотов". Хотел бы заметить, что все члены, указанной Вами последовательности, меньше 13 (индукция), поэтому можно было уточнить оценку для предпоследнего и получить нужный результат без дополнительных усилий. Успехов Вам.

(18 Окт '12 13:26) Anatoliy

А верно ли утверждение для бесконечного числа подкоренных выражений? Т.е. в пределе?

(18 Окт '12 22:37) DocentI

Надо проверить.

(19 Окт '12 11:13) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
0

Докажем, что $%[\sqrt[3]{n+x}]=[\sqrt[3]{n+[x]}]\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z}:k\leq\sqrt[3]{n+x},\sqrt[3]{n+[x]}< k+1$% $%\Leftrightarrow $%$%k^3\leq n+x,n+[x]<(k+1)^3\Leftrightarrow k^3-n\leq x,[x]<(k+1)^3-n$% $%\Leftrightarrow k^3-n-[x]\leq0,\{x\}<$%$%(k+1)^3-n-[x].$% Такое $%k$% найдется, так как $%0\leq0,\{x\}<1$%. Пусть $%a_1=[\sqrt[3]{2012}]=12,a_n=[\sqrt[3]{2013-n+a_{n-1}}]$%. Если $%a_{n-1}=12,a_n=12$%, если $%2025-n\geq12^3,n\leq297.a_{298}=[\sqrt[3]{2013-298+12}]=11.$% Если $%a_{n-1}=11,a_n=11,$% если $%2024-n\geq11^3,n\leq693$%. Пусть $%a_{i_n}$%-первое появление числа $%n$% в данной последовательности. Аналогично, имеем $%i_n=1+2013+(n+1)-(n+1)^3$%. Значит, искомое число равно наибольшему такому $%n,$% что $%i_{n-1}>2012\Leftrightarrow 2>n^3-n$%.Значит, данная целая часть равна 1.

ссылка

отвечен 17 Окт '12 21:13

изменен 19 Окт '12 16:13

ASailyan's gravatar image


15.4k727

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,610

задан
17 Окт '12 17:48

показан
868 раз

обновлен
22 Окт '12 21:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru