|
Найти целую часть выражения $%\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{2+\sqrt[3]{3+...\sqrt[3]{2011+\sqrt[3]{2012}}}}}.$% задан 17 Окт '12 17:48 
Anatoliy |
|
Обозначим $%a_1=\sqrt[3]{2012},a_2=\sqrt[3]{2011+a_1}, a_3=\sqrt[3]{2010+a_2},..., a_n=\sqrt[3]{2013-n+a_{n-1}}, ...,$% $% a_{2012}=\sqrt[3]{1+a_{2011}}=\sqrt[3]{1+\sqrt[3]{2+\sqrt[3]{3+...\sqrt[3]{2011+\sqrt[3]{2012}}}}}. $% Очевидно, что $%а_1<13$%, а $% a_{2012}>1$%. Докажем что $% a_{2012}<2$%. отвечен 17 Окт '12 22:30 
ASailyan У Вас в решении меньше "наворотов". Хотел бы заметить, что все члены, указанной Вами последовательности, меньше 13 (индукция), поэтому можно было уточнить оценку для предпоследнего и получить нужный результат без дополнительных усилий. Успехов Вам.
(18 Окт '12 13:26)
Anatoliy
А верно ли утверждение для бесконечного числа подкоренных выражений? Т.е. в пределе?
(18 Окт '12 22:37)
DocentI
Надо проверить.
(19 Окт '12 11:13)
Anatoliy
|
|
Докажем, что $%[\sqrt[3]{n+x}]=[\sqrt[3]{n+[x]}]\Leftrightarrow \exists k\in \mathbb{Z}:k\leq\sqrt[3]{n+x},\sqrt[3]{n+[x]}< k+1$% $%\Leftrightarrow $%$%k^3\leq n+x,n+[x]<(k+1)^3\Leftrightarrow k^3-n\leq x,[x]<(k+1)^3-n$% $%\Leftrightarrow k^3-n-[x]\leq0,\{x\}<$%$%(k+1)^3-n-[x].$% Такое $%k$% найдется, так как $%0\leq0,\{x\}<1$%. Пусть $%a_1=[\sqrt[3]{2012}]=12,a_n=[\sqrt[3]{2013-n+a_{n-1}}]$%. Если $%a_{n-1}=12,a_n=12$%, если $%2025-n\geq12^3,n\leq297.a_{298}=[\sqrt[3]{2013-298+12}]=11.$% Если $%a_{n-1}=11,a_n=11,$% если $%2024-n\geq11^3,n\leq693$%. Пусть $%a_{i_n}$%-первое появление числа $%n$% в данной последовательности. Аналогично, имеем $%i_n=1+2013+(n+1)-(n+1)^3$%. Значит, искомое число равно наибольшему такому $%n,$% что $%i_{n-1}>2012\Leftrightarrow 2>n^3-n$%.Значит, данная целая часть равна 1. отвечен 17 Окт '12 21:13 
dmg3 |
Целая часть равна единице
Почему? Нужно пояснить.