|
По критерию Коши доказать сходимость следующего ряда: $%cos(x)/(1^2) + ... + cos(x^n)/(n^2).$% В указании предлагают воспользоваться известным неравенством $%1/(n^2) < 1/(n*(n-1)) = 1/(n-1) - 1/n.$% В ответе необходимо записать оценку номера, зависящего от эпсилон. Помогите, пожалуйста, с решением... Заранее спасибо задан 18 Окт '12 14:00 
zhildemon |
|
Критерий Коши. Функциональный ряд сходится равномерно на множестве $%E $%, если $%\forall \varepsilon > 0 \exists N: \forall n>N , \forall p>0 \forall x \in E : |U_{n+1} (x) + \dots + U_{n+p}(x)| < \varepsilon$%. В этом случае: Пусть $%\varepsilon $%-произвольное положительное число, а $%p$%-произвольное натуральное число, тогда $%|\frac{cos(x^{n+1})}{(n+1)^2}+\frac{cos(x^{n+2})}{(n+2)^2}+...+\frac{cos(x^{n+p})}{(n+p)^2}|\le|\frac{cos(x^{n+1})}{(n+1)^2}|+|\frac{cos(x^{n+2})}{(n+2)^2}|+...+|\frac{cos(x^{n+p})}{(n+p)^2}|\le$% $%\le\frac{1}{(n+1)^2}+\frac{1}{(n+2)^2}+...+\frac{1}{(n+p)^2}< \frac{1}{n(n+1)}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}+...+\frac{1}{(n+p-1)(n+p)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+p}<\frac{1}{n}<\varepsilon$%, откуда $%n>\frac{1}{\varepsilon}, N(\varepsilon)=[\frac{1}{\varepsilon}]$%. Значит ряд сходится равномерно на множестве всех действительных чисел. отвечен 18 Окт '12 17:24 
Anatoliy спасибо, вчера пытался выразить n из разности, пришёл к 2 квадратным уравнениям и получил многоэтажную оценку для n...
(19 Окт '12 0:40)
zhildemon
|