Пусть $%M -$% середина стороны $%BC$% треугольника $%ABC$%. На его сторонах $%AB$% и $%AC$% выбрали отличные от вершин произвольные точки $%E$% и $%F$% соответственно. Пусть $%K -$% точка пересечения прямых $%BF$% и $%CE$%, $%L -$% такая точка, что $%CL||AB$% и $%BL||CE$%, а $%N -$% точка пересечения прямых $%AM$% и $%CL$%. Докажите, что $%KN||FL$%.

Легко доказывается, что $%ABNC -$% параллелограмм (из этого еще параллелограммы добавляются). Но дальше продвинуться не могу. Хотя есть еще идея методом координат доказать. alt text

задан 1 Мар '16 23:57

изменен 2 Мар '16 0:02

Наверное, в координатах это всё вычисляется без особых проблем, хотя тут должно быть что-то более геометрическое.

(2 Мар '16 1:41) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
2

Если нигде не наврал, то придумалось такое вымученное решение...

Про параллелограмм $%ABNC$% уже сказали... поэтому буду скакать от него...

alt text

Введём обозначение отрезков как на рисунке... тогда по теореме Менелая (для треугольника $%ABF$% и секущей $%EKC$%) получаем равенство $$ \frac{Z-c}{c}\cdot\frac{a}{X}\cdot\frac{Y-b}{b}=1 $$ Из подобия треугольников $%HFC$% и $%HBN$% найдём $$ HC=\frac{a\cdot Y}{X-a}, \qquad HF=\frac{a\cdot Z}{X-a} $$ Если $%KN\parallel FL$%, то треугольники $%HFL$% и $%HKN$% должны быть подобными... то есть должно выполняться соотношение $$ \frac{HL}{HF}=\frac{Y-b}{c} $$ Проверим справедливость этого равенства, для чего в левой части используем выражение для отрезков, а правую часть выразим из теоремы Менелая: $$ \left(\frac{a\cdot Y}{X-a}+b\right)\cdot\frac{X-a}{a\cdot Z} = \frac{b\cdot X}{a\cdot(Z-c)} $$ $$ \frac{a\cdot Y+b\cdot(X-a)}{Z} = \frac{b\cdot X}{Z-c} $$ $$ \big(a\cdot Y+b\cdot X-b\cdot a\big)\cdot (Z-c)=b\cdot X\cdot Z $$ $$ a\cdot Y\cdot Z+b\cdot X\cdot Z-b\cdot a\cdot Z- a\cdot Y\cdot c-b\cdot X\cdot c+b\cdot a \cdot c=b\cdot X\cdot Z $$ $$ a\cdot \Big(Y\cdot Z-b\cdot Z- Y\cdot c+b\cdot c\Big)=b\cdot X\cdot c $$ $$ a\cdot(Y-b)\cdot (Z- c)=b\cdot X\cdot c $$ А это есть равенство, выписанное в начале в теореме Менелая... то есть треугольники $%HFL$% и $%HKN$% подобными... ЧТД

Вроде так...

ссылка

отвечен 2 Мар '16 14:20

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×491
×48

задан
1 Мар '16 23:57

показан
647 раз

обновлен
2 Мар '16 14:20

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru