|
Как можно вычислить интеграл вида $$\int_{0}^{+\infty}e^{-\large\frac{(x-a)^2}{0.01}}\cos(bx)dx$$ В Двайте не нашел, в интернете тоже нет. задан 18 Окт '12 23:27 
Алексей123 |
|
см.
отвечен 19 Окт '12 18:02 
Андрей Юрьевич Благодарю. Но мне не совсем подходит комплексное решение, т.к. с помощью него решается задача мат. физики
(19 Окт '12 20:06)
Алексей123
Нужно просто выделить действительную часть из ответа.
(19 Окт '12 20:21)
Андрей Юрьевич
|
|
Даже при b = 0 этот интеграл не берется точно. Действительно, $$\int_0^{+\infty}e^{-(10(x-a))^2}dx = \int_{-a}^{+\infty}e^{-(10t)^2}dt =$$ $$ ={1\over10}\int_{-a}^{0}e^{-(10t)^2}d10t + {1\over10}\int_{0}^{+\infty}e^{-(10t)^2}d10t = {1\over10}\Phi(10a) +{\sqrt{\pi}\over 20}$$ В задачнике Кудрявцева (3 том, стр. 351) есть разбор интеграла $%\int_0^{+\infty}e^{-x^2}\cos 2\alpha x dx$% c помощью дифференцирования по параметру. Он равен $%{\sqrt{\pi}\over 2}e^{-\alpha^2}$%. Но Ваш интеграл не сводится к данному, так как при замене переменной $%t = 10(x - a)$% нижний предел интегрирования превращается в $%-10a$%. Может, у Вас интеграл по всей прямой? Он считается точно. отвечен 19 Окт '12 0:47 
DocentI Действительно, по условию задачи, экспоненциальная функция симметрична относительно нуля и данный интеграл решает только ее "половину". А каким образом можно посчитать интеграл по всей прямой?
(19 Окт '12 17:35)
Алексей123
На всей прямой можно делать сдвиг x - a = t, который не меняет пределов интергрирования. Подробно считать не хочу, долго.
(22 Окт '12 13:56)
DocentI
|