Найти степень поля разлож. $%x^n - 1 $% над $% \space \mathbb Z_p$% p - простое

задан 4 Мар '16 14:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я не уверен, что это то, что требуется, но можно сказать следующее.

Понятно, то поле разложения будет конечным. Любое конечное расширение поля $%\mathbb F_p$% имеет вид $%\mathbb F_{p^m}$% для некоторого $%m$%.

Прежде всего заметим, что мы можем считать, что $%p$% не делит $%n$%. Пусть $%n=p^kq$%, $%(p,q)=1$%, тогда в поле $%\mathbb{F}_p$% имеем $%x^{p^kq}-1=(x^{q}-1)^{p^k}$% (это равенство иногда называют формулой двоечника) и мы можем рассматривать многочлен $%x^{q}-1.$%

Понятно, что если $%\mathbb F_{p^m}$% --- поле разложения $%x^n-1$% над $%\mathbb F_{p}$%, то оно содержит элемент $%n$%-го порядка. Теперь можно сказать, что $%m$% --- это минимальное натуральное число, такое, что $%n$% делит число $%p^m-1$% (это порядок мультипликативной группы поля $%\mathbb F_{p^m}$%). Если $%n$% и $%p$% взаимно просты (а мы уже свели задачу к этому случаю), то из того, что $%p^m=1 \mod n$% следует, что $%m|l(n)$%, где $%l(n) = \textrm{lcm}(p_1-1,\dots,p_t-1,p_1^{k_1-1},\dots,p_t^{k_t-1})$%, если $%n=p_1^{k_1}\cdots p_t^{k_t}$% --- примарная декомпозиция числа $%n$% (это усиленная теорема Эйлера, причем она уже не допускает дальнейшего усиления).

ссылка

отвечен 4 Мар '16 16:30

изменен 5 Мар '16 23:33

@Tzara: у меня вызывает сомнения концовка рассуждения. Пусть p=2, n=7, m=3. При этом l(n)=6, то есть это число не делит m.

Также по поводу рассуждения чуть выше: откуда мы знаем, что мультипликативная группа поля содержит элемент в точности n-го порядка? Ведь из равенства x^n=1 не следует, что мы располагаем таким элементом.

(5 Мар '16 22:17) falcao

@falcao Про то, что мультипликативная группа поля содержит элемент в точности n-го порядка. Поле разложения содержит все $%n$% корней многочлена $%x^n-1$% (и все эти корни различные). Эти корни --- мультипликативная подгруппа в мультипликативной группе поля разложения. Любая подгруппа мультипликативной группы конечного поля циклическая.

А про $%l(n)$% я походу нагнал, можно лишь гарантировать, что $%m|l(n)$%. Т.е. спрашивается порядок элемента $%p$% в $%\mathbb{Z}_n^\ast$%

(5 Мар '16 23:32) Sunbro

@Tzara: мне кажется, вопрос о том, при каком наименьшем m имеет место делимость p^m-1 на n, не имеет какой-то более явной формы ответа. А задача похожего вида была здесь.

По поводу элемента порядка n я имел в виду то, что это имело смысл сразу пояснить.

(6 Мар '16 0:35) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,621
×1,049
×459
×246

задан
4 Мар '16 14:33

показан
1022 раза

обновлен
6 Мар '16 0:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru