|
Подскажите, пожалуйста, как доказать,что если взять замыкание множества и еще от него замыкание это замыкание? то есть [[a]]=[a]. задан 7 Мар '16 0:01 
V_Buynov |
|
Для метрических пространств есть критерий принадлежности точки замыканию множества $%A$%. Он почти прямо следует из определения. Точка $%a$% принадлежит $%[A]$% тогда и только тогда, когда она является пределом некоторой последовательности точек, принадлежащих $%A$%. Для точек самого множества берём постоянную последовательность. Для предельных точек берём проколотые окрестности стремящегося к нулю радиуса (скажем, $%\frac1n$%), и в каждой из них выбираем по точке. Соответствующая последовательность элементов $%A$% будет иметь пределом заданную точку. Теперь достаточно проверить, что если имеется последовательность точек из $%[A]$%, стремящаяся к какому-то $%a$% (то есть $%a\in[[A]]$%), то существует и последовательность точек из $%A$%, стремящаяся к $%a$%. Тогда получится, что $%a\in[A]$%, то есть $%[[A]]\subseteq[A]$%, а обратное включение очевидно. Итак, пусть $%\lim\limits_{n\to\infty}a_n=a$%, где $%a_n\in[A]$% для всех $%n$%. Здесь можно для удобства считать, что $%|a_n-a| < \frac1n$%. Поскольку $%a_n$% является пределом последовательности точек из $%A$%, существует $%b_n\in A$% такая, что $%|b_n-a_n| < \frac1n$%. Тогда $%\lim\limits_{n\to\infty}b_n=a$% ввиду того, что $%|b_n-a|\le|b_n-a_n|+|a_n-a| < \frac2n$%, что стремится к нулю. Но все точки вида $%b_n$% взяты из $%A$%, откуда $%a\in[A]$%. отвечен 7 Мар '16 1:47 
falcao |
Всё зависит от того, как определяется замыкание множества. Если его определять как наименьшее замкнутое множество, содержащее данное (а это пересечение всех замкнутых множеств, содержащих данное), то доказывать тут нечего. Множество [A] оказывается замкнутым по построению, и тогда наименьшим замкнутым, содержащим [A], оно само и будет, то есть [[A]]=[A]. Это почти тавтологичное рассуждение.
замыкание множества A - это само множество и его предельные точки. мне нужно, чтобы с помощью теорем.
@V_Buynov: если Вам нужно доказательство, основанное на определениях и теоремах изучаемого Вами курса, то его в принципе дать тоже несложно, но нужно знать какие-то особенности построения этого курса. Про определение через предельные точки Вы сказали, и при таком подходе там есть что доказывать (хотя это тоже несложно). Но тогда нужно знать две вещи: 1) в каком пространстве это всё дело происходит (скажем, в $%\mathbb R^n$%, или в произвольном метрическом, или как-то ещё); 2) особенность определения предельной точки (там определения хотя и эквивалентны, но могут быть по-разному формулируемы).
окей, значит имеем дело в произвольном метрическом пространстве , а во-вторых, В - предельная точка множества А - это точка,если в любой окрестности этой точки есть еще хоть одна точка из А, кроме этой В. как тогда поступать?