Хоккейный турнир, в котором брали участие больше, чем 5 команд, проводился в один круг, то есть каждая команда сыграла с другой один раз. Оказалось, что все команды набрали разное количество очей. Команда, что стала последней, выиграла не меньше 25% своих матчей, а команда, занявшая второе место, -- не больше 40% своих матчей. Какое наибольшее количество команд могло принимать участие в этой турнире? (В хоккее за победу дают 2 очка, за ничью -- 1 очко, за поражение -- 0 очей.)

задан 7 Мар '16 15:22

10|600 символов нужно символов осталось
1

Пусть участвовало $%n$% команд. У каждой из них целое число очков. Последняя команда одержала как минимум $%\frac{n-1}4$% и набрала не менее $%\frac{n-1}2$% очков. Вторая команда могла набрать не более $%n-1+\frac25(n-1)=\frac75(n-1)$% очков -- из расчёта по очку в каждом матче, плюс по одному дополнительному очку за каждую из $%\frac25$% побед от общего числа её игр.

Ввиду того, что число очков у всех разное, вторая команда набрала как минимум на $%n-2$% очка больше, чем $%n$%-я. Отсюда следует неравенство $%(\frac75-\frac12)(n-1)\ge n-2$%, то есть $%n\le11$%.

Если $%n=11$%, то все предыдущие неравенства обращаются в равенство, но тогда, выиграв не менее 25% матчей из 10, последняя команда одержит как минимум 3 победы и наберёт не $%\frac{n-1}2$% очков, а больше. Значит, этот случай невозможен.

Если $%n=10$%, то последняя команда в 9 матчах должна выиграть не менее 3, набрав 6 или более очков. Вторая команда побеждает не более чем в 3 встречах, и наберёт не более 12 очков (при остальных ничьих). Разрыв составит не более 6, а нужно как минимум 8. Значит, и такого числа команд быть не может.

При $%n=9$% последняя команда одерживает как минимум 2 победы, набирая 4 или более очков. Вторая команда из 8 игр побеждает не более чем в трёх, и общее число очков у неё не больше 11. Разрыв составляет 7, и такое может быть только тогда, когда команды со 2-й по 9-ю набирают 11, 10, ... , 4 очков соответственно. В сумме это даёт 60, а общая сумма очков равна 72. Значит, на первую команду приходится 12 очков.

По эти данным уже несложно нарисовать таблицу с требуемым числом побед (три у 2-й команды и две у 9-й). Наверное, здесь как-то можно обосновать существование такого итога из более общих соображений, но мне проще предъявить таблицу в виде матрицы $%9\times9$%: $$\begin{bmatrix} \bullet & 1 & 2 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & \bullet & 1 & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 0 & 1 & \bullet & 1 & 1 & 1 & 2 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & \bullet & 1 & 1 & 0 & 2 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & \bullet & 1 & 0 & 1 & 2 \\ 1 & 1 & 1 & 1 & 1 & \bullet & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & 2 & \bullet & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 2 & 2 & \bullet & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 2 & 2 & \bullet \\ \end{bmatrix}$$

ссылка

отвечен 8 Мар '16 0:06

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×53

задан
7 Мар '16 15:22

показан
286 раз

обновлен
8 Мар '16 0:06

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru