теория-чисел - Количество и сумма делителей - степень двойки

Обе функции (сумма делителей и количество делителей) мультипликативны. Поэтому достаточно рассмотреть случай степени простого числа. Если $%n=p^k$%, то сумма делителей равна $%\sigma(p^k)=1+p+\cdots+p^k=2^m$% для некоторого $%m$%. Ясно, что $%p$% нечётно, поэтому число слагаемых чётно, и можно выделить $%1+p$% в качестве множителя: $%(1+p)(1+p^2+\cdots+p^{k-1})=2^m$%. Если второй сомножитель не равен единице, то там число слагаемых снова чётно, и можно выделить $%1+p^2$%, получая $%(1+p)(1+p^2)(1+p^4+\cdots+p^{k-3})=2^m$%. Действуем так несколько раз пока далее что-то остаётся, и в итоге получаем $%(1+p)(1+p^2)(1+p^4)\ldots(1+p^{2^r})=2^m$% для некоторого $%r\ge0$%. Отсюда следует, что $%k+1=2^{r+1}$%, и тогда число делителей $%\tau(n)=k+1$% равно степени двойки. Общий факт вытекает из мультипликативности.

Я намеренно изложил рассуждение в таком виде, чтобы прийти к выводу, что $%k+1$% является степенью двойки. Однако уже на второй стадии можно было бы заметить, что $%p^2+1$% степенью двойки быть не может, так как при делении на 4 даёт в остатке 2. Поэтому на самом деле все показатели степеней в каноническом разложении равны 1, и тогда число делителей есть степень двойки.

Интересно, что сами простые множители здесь будут простыми числами Мерсенна, поэтому мы не знаем, конечно или бесконечно множество чисел из условия задачи (нам здесь фактически разрешается перемножать различные числа такого вида).