С помощью формулы Грина вычислить криволинейный интеграл по замкнутому контуру пробегаемому в положительном направлении $$∮3/4 y^2 (x^2-2)dx+x^2/2 (1+xy)dy$$ где с-окружность x^2+y^2=2x

задан 21 Окт '12 18:14

изменен 21 Окт '12 18:14

10|600 символов нужно символов осталось
1

$$\begin{eqnarray} P(x, y) &=&& \frac{3}{4}y^2\left(x^2-2\right) \\ Q(x, y) &=&& \frac{x^2}{2}\left(1+xy\right) \\ \end{eqnarray}$$

Исходный интеграл по формуле Грина равен: $$\begin{eqnarray} \mathop{\int} _ {(x-1)^2+y^2 = 1}P\,dx + Q\,dy = \mathop{\int\!\!\!\int} _ {(x-1)^2+y^2 \le 1} {\left( \frac{\partial Q}{\partial x} - \frac{\partial P}{\partial y} \right)dx\,dy} = \\ \mathop{\int\!\!\!\int} _ {D} {\left( x + \frac{3x^2y}{2} - \frac{3}{2}y(x^2-2) \right)dx\,dy} = \mathop{\int\!\!\!\int} _ {D} { x\,dx\,dy } + 3\mathop{\int\!\!\!\int} _ {D} { y\,dx\,dy } = \\ = \mathop{\int\!\!\!\int} _ {x^2+y^2\le1} { (x+1)\,dx\,dy } + 3\mathop{\int\!\!\!\int} _ {x^2+y^2\le1} { y\,dx\,dy } = \pi\cdot1^2 + 4\mathop{\int\!\!\!\int} _ {x^2+y^2\le1} { x\,dx\,dy } = \pi. \end{eqnarray}$$

Последний интеграл решается через повторные. Но можно сразу сказать, что он равен нулю, т.к. на левой и правой половинке окружности функция отличается только знаком.

ссылка

отвечен 2 Ноя '12 4:49

изменен 2 Ноя '12 4:54

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×856

задан
21 Окт '12 18:14

показан
3994 раза

обновлен
2 Ноя '12 4:54

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru