Доказать, что в случае $%q(x)\le0$% краевая задача $%y''+q(x)y=0, y(x_1)=a, y(x_2)=b$% при любых $%a,b$% и $%x_1\ne x_2$% имеет единственное решение. Доказать, что это решение - монотонная функция, если $%b=0$%

задан 10 Мар '16 1:01

10|600 символов нужно символов осталось
1

Предположим, что решение уравнения обращается в ноль в некоторой точке $%x_0$%. Тогда $%y'(x_0)=0$% означает, что оно тождественно нулевое (по теореме существования и единственности). Пусть $%y'(x_0) > 0$% (достаточно этого случая, так как можно сменить знак у функции). При переходе через точку $%x_0$% функция меняет знак с "минуса" на "плюс". Справа от точки $%x_0$% в некоторой окрестности мы имеем $%y(x) > 0$%. Тогда в этой же окрестности вторая производная $%y''=-qy$% неотрицательна. Из этого следует, что производная не убывает. Тогда она в окрестности всюду положительна. Значит, сама функция возрастает в окрестности. Этот процесс далее неограниченно продолжается вправо. Для точек слева от $%x_0$% всё обстоит аналогично.

Можно также заметить, что если $%k=y'(x_0) > 0$%, то функция растёт не медленнее линейной с угловым коэффициентом $%k$%. Поэтому значение в любой точке $%x > x_0$% можно сделать сколь угодно большим при подходящем выборе $%k$%. Для случая $%k < 0$% мы таким же образом устремляем значение функции к минус бесконечности. Ввиду непрерывной зависимости, все промежуточные значения также могут быть достигнуты.

Пусть теперь $%x_1 < x_2$%. Рассмотрим какое-нибудь решение с условием $%y(x_1)=a$%. Будем менять значения производных в этой точке. Для каждого из них имеется решение. Разность решений обращается в ноль в точке $%x_0$%, поэтому обладает описанными выше свойствами. Поэтому при подходящем выборе $%y'(x_1)$% значение производной можно "подогнать" так, чтобы в точке $%x_2$% функция приняла любое заданное значение.

ссылка

отвечен 10 Мар '16 21:45

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,005
×272
×16

задан
10 Мар '16 1:01

показан
450 раз

обновлен
10 Мар '16 21:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru