Пусть $%K$% -- компакт. $%f: K → M$%, $%f$% -- биекция, $%M$% -- метрическое пространство. Покажите, что $%f^{-1}$% -- непрерывно.

задан 10 Мар '16 23:29

10|600 символов нужно символов осталось
1

В условии пропущено то, что $%f$% само непрерывно. Без этого, конечно, ничего доказать нельзя.

В соответствии с определением, здесь требуется проверить, что образ открытого множества при отображении $%f$% открыт. Рассмотрим открытое подмножество $%U\subseteq K$%. Тогда $%K\setminus U$% -- замкнутое подмножество компакта. Значит, оно само компактно.

При непрерывном отображении образ компакта компактен. Значит, $%f(K\setminus U)$% компактно. Поскольку $%M$% -- метрическое пространство, оно хаусдорфово. В таком пространстве любой компакт замкнут. Его дополнение, соответственно, открыто. Но у нас $%f$% является биекцией, переводящей $%U$% в $%f(U)$%, и $%K\setminus U$% в $%f(K\setminus U)$%. Поэтому $%f(U)$% является дополнением замкнутого множества $%K\setminus U$%, то есть оно открыто.

ссылка

отвечен 11 Мар '16 0:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,735
×106
×26

задан
10 Мар '16 23:29

показан
530 раз

обновлен
11 Мар '16 0:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru