По круговой дороге по часовой стрелке едет машина. В полдень в двух различных точек дороги встали два наблюдателя. Мимо каждого из них машина проехала не менее 30 кругов. Первый наблюдатель заметил, что каждый следующий круг машина проезжает на 1 секунду быстрее, чем предыдущий, а второй, что каждый следующий круг машина проезжает на 1 секунду медленнее, чем предыдущий. Доказать, что прошло не менее полутора часов.

задан 22 Окт '12 19:22

Что значит "мимо каждого проехала не менее 30 кругов". Мимо точки можно проехать 30 (или k) раз, а не кругов. Может "30 кругов" значит - 31 раз?

(23 Окт '12 0:11) DocentI

Думаю, что можно комментарии удалить. Кто хотел ознакомился. Пусть участники форума занимаются задачами, а не махинациями. Надеюсь, что дальше так и будет.

(26 Окт '12 19:57) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
1

Видимо "первым" назван тот наблюдатель, мимо которого машина проехала первым? Обозначим этот момент времени через $%T_0 = 0$%. Пусть первый круг (с точки зрения первого наблюдателя) она прошла за $%a-1$% с. Где-то до этого времени (в момент $%t_0$%) она прошла мимо второго наблюдателя. Далее первый наблюдатель отмечал, что круги проходятся за $%(a - 2), (a - 3), ... (a - 30)$% с. Круг номер i кончится через $$T_i = (a -1) + ... + (a-i)= ia - {i(i+1)\over 2} c$$

Аналогично второй наблюдатель заметит, что i-ый круг машина пройдет через $$t_i = t_0 + (b+ 1)+ ... + (b+i) = t_0 + ib + {(i(i+1)\over 2} с.$$

По смыслу задачи, $% t_{i-1} < T_{i}< t_i$% для любого i от 1 до 30.

В частности, $% t_{29} < T_{30}$%, т.е. $%t_0<30a -29b-900$%.
Кроме того, $% t_{15} > T_{15}$%, т.е. $%t_0>15a - 15b-240$%.
C учетом неравенства $%t_0 < a - 1$% получаем ограничения $$15a - 15b-240 < t_0 < 30a -29b-900\\ 15a - 15b-240 < t_0 < a - 1$$

Исключая из них последовательно $%t_0$% и $%a$% получаем, что $%b > 195 c$%
Но тогда $%t_{30} = (t_0 + 30 b + 465)c > 105,25 мин$%, что больше 90 мин.

ссылка

отвечен 24 Окт '12 14:59

Неужели такую задачу можно решить на олимпиаде? Я пересчитывала несколько раз, пока нашла правильный путь. Впрочем, я старалась решить задачу в общем виде (исследовать неравенства для всех i), наилучшим оказалось i = 15. Но, наверное, об этим можно было догадаться, поэкспериментировав с графиком движения.

(24 Окт '12 15:01) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×651
×18
×13

задан
22 Окт '12 19:22

показан
1003 раза

обновлен
26 Окт '12 19:57

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru