|
По круговой дороге по часовой стрелке едет машина. В полдень в двух различных точек дороги встали два наблюдателя. Мимо каждого из них машина проехала не менее 30 кругов. Первый наблюдатель заметил, что каждый следующий круг машина проезжает на 1 секунду быстрее, чем предыдущий, а второй, что каждый следующий круг машина проезжает на 1 секунду медленнее, чем предыдущий. Доказать, что прошло не менее полутора часов. задан 22 Окт '12 19:22 
dmg3 |
|
Видимо "первым" назван тот наблюдатель, мимо которого машина проехала первым? Обозначим этот момент времени через $%T_0 = 0$%. Пусть первый круг (с точки зрения первого наблюдателя) она прошла за $%a-1$% с. Где-то до этого времени (в момент $%t_0$%) она прошла мимо второго наблюдателя. Далее первый наблюдатель отмечал, что круги проходятся за $%(a - 2), (a - 3), ... (a - 30)$% с. Круг номер i кончится через $$T_i = (a -1) + ... + (a-i)= ia - {i(i+1)\over 2} c$$ Аналогично второй наблюдатель заметит, что i-ый круг машина пройдет через $$t_i = t_0 + (b+ 1)+ ... + (b+i) = t_0 + ib + {(i(i+1)\over 2} с.$$ По смыслу задачи, $% t_{i-1} < T_{i}< t_i$% для любого i от 1 до 30. В частности, $% t_{29} < T_{30}$%, т.е. $%t_0<30a -29b-900$%. Исключая из них последовательно $%t_0$% и $%a$% получаем, что $%b > 195 c$% отвечен 24 Окт '12 14:59 
DocentI Неужели такую задачу можно решить на олимпиаде? Я пересчитывала несколько раз, пока нашла правильный путь. Впрочем, я старалась решить задачу в общем виде (исследовать неравенства для всех i), наилучшим оказалось i = 15. Но, наверное, об этим можно было догадаться, поэкспериментировав с графиком движения.
(24 Окт '12 15:01)
DocentI
|
Что значит "мимо каждого проехала не менее 30 кругов". Мимо точки можно проехать 30 (или k) раз, а не кругов. Может "30 кругов" значит - 31 раз?
Думаю, что можно комментарии удалить. Кто хотел ознакомился. Пусть участники форума занимаются задачами, а не махинациями. Надеюсь, что дальше так и будет.