олимпиада - Геометрия треугольника

Рассмотрим сперва вопрос о геометрическом месте точек $%K$%...

Поскольку $%A_1BC_1I$% - вписанный, а $%BI$% - биссектриса, то $%A_1I=IC_1$%...
Проведём окружность с центром в тоске $%I$% и радиусом $%IA_1$%... понятно, что получим симметричный для $%A_1BC_1I$% относительно биссектрисы $%BI$% четырёхугольник $%A_2BC_2I$%... Обозначим середину $%A_2C_2$% как $%L$%...
Очевидно, что $%A_1A_2C_1C_2$% будет вписанной трапецией... а $%KL$% будет лежать на средней линии трапеции - отрезок $%MN$%... А поскольку $%MI$% и $%NI$% - перпендикулярны сторонам трапеции (они же стороны треугольника), то точки $%M$% и $%N$% - это точки касания вписанной окружности в треугольник $%ABC$%...

Итак, $%K\in MN$%...

Перейдём к вопросу о величине угла $%AKC$%...

Построим окружность, для которой сторона $%AC$% является диаметром... Понятно, что точки отрезка $%MN$%, лежащие внутри окружности будут давать угол больше прямого...

Пусть окружность пресекает $%MN$% в точке $%H$% как показано на рисунке... Покажем, что для такого треугольника точка $%K$% не сможет попасть на отрезок $%MH$%...
Для этого рассмотрим случай $%A=A_1$%, для которого очевидно, что середина $%A_1C_1$% и будет точкой $%H$%...

В общем получилось немного сумбурно...