На сторонах $%AB$% и $%BC$% треугольника $%\Delta ABC$% отмечены точки $%A_1,C_1$% соответственно, так ,что четырехугольник $%A_1BC_1I$%-вписанный, где $%I$%-центр вписанной окружности $%\Delta ABC$%. Доказать, что $%\angle AKC$% тупой, где $%K$%-середина $%A_1C_1$%.

задан 22 Окт '12 19:23

10|600 символов нужно символов осталось
2

Рассмотрим сперва вопрос о геометрическом месте точек $%K$%...

Поскольку $%A_1BC_1I$% - вписанный, а $%BI$% - биссектриса, то $%A_1I=IC_1$%...
Проведём окружность с центром в тоске $%I$% и радиусом $%IA_1$%... понятно, что получим симметричный для $%A_1BC_1I$% относительно биссектрисы $%BI$% четырёхугольник $%A_2BC_2I$%... Обозначим середину $%A_2C_2$% как $%L$%...
Очевидно, что $%A_1A_2C_1C_2$% будет вписанной трапецией... а $%KL$% будет лежать на средней линии трапеции - отрезок $%MN$%... А поскольку $%MI$% и $%NI$% - перпендикулярны сторонам трапеции (они же стороны треугольника), то точки $%M$% и $%N$% - это точки касания вписанной окружности в треугольник $%ABC$%...

Итак, $%K\in MN$%...

alt text

Перейдём к вопросу о величине угла $%AKC$%...

Построим окружность, для которой сторона $%AC$% является диаметром... Понятно, что точки отрезка $%MN$%, лежащие внутри окружности будут давать угол больше прямого...

Пусть окружность пресекает $%MN$% в точке $%H$% как показано на рисунке... Покажем, что для такого треугольника точка $%K$% не сможет попасть на отрезок $%MH$%...
Для этого рассмотрим случай $%A=A_1$%, для которого очевидно, что середина $%A_1C_1$% и будет точкой $%H$%...

alt text

В общем получилось немного сумбурно...

ссылка

отвечен 14 Янв '17 1:49

изменен 14 Янв '17 2:15

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,556
×1,021

задан
22 Окт '12 19:23

показан
717 раз

обновлен
14 Янв '17 2:15

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru