1. Внутри сферы находится точка $%A$%. Через нее проведены три попарно перпендикулярные прямые, пересекающие сферу в 6 точках. Доказать, что центр масс этих точек не зависит от выбора прямых.
  2. Внутри сферы помещен икосаэдр с центром $%A$%. Из $%A$% проведены лучи в вершины икосаэдра, пересекающие сферу в 12 точках. Икосаэдр по вернули так, что его центр остался на месте. Получились новые 12 точек. Доказать, что их центр масс совпадает с центром масс старых 12 точек.

задан 22 Окт '12 19:40

изменен 1 Ноя '12 20:24

Deleted's gravatar image


126

10|600 символов нужно символов осталось
2

Введём декартову систему координат с центром в центре сферы и осями параллельными прямым. $$\vec c\ \text{- радиус-вектор точки}\ A.$$ Разложим его на составляющие параллельные осям: $$\vec c = \vec {c _ x} + \vec {c _ y} + \vec {c _ z}.$$

Любой радиус-вектор точек пересечения прямых и сферы можно представить в виде суммы: $$\vec {r _ i} = \vec {c} + \vec {a _ i}.$$

Центр масс (в предположении, что все точки имеют равную массу): $$\vec {r _ с} = \frac{1}{6} \sum^6 _ {i=1}\vec {r _ i} = \frac{1}{6} \sum^6 _ {i=1}\left(\vec {c} + \vec {a} _ i\right) = \\ \frac{1}{6} \left( 6\vec {c _ x} + 6\vec {c _ y} + 6\vec {c _ z} + \vec{a _ {x1}} + \vec{a _ {x2}} + \vec{a _ {y1}} + \vec{a _ {y2}} + \vec{a _ {z1}} + \vec{a _ {z2}}\right). $$

Рисунок ниже.

Из рисунка видно, что $$\left\{\begin{eqnarray} \vec{a_{x1}} + \vec{a_{x2}} = -2\vec{c_x} \\ \vec{a_{y1}} + \vec{a_{y2}} = -2\vec{c_y} \\ \vec{a_{z1}} + \vec{a_{z2}} = -2\vec{c_z} \\ \end{eqnarray}\right.$$

Тогда центр масс равен $$ \vec {r_с} = \frac 1 6 \left( 4\vec {c_x} + 4\vec {c_z} + 4\vec {c_z}\right) = \frac 2 3 \vec{c}. $$

С икосаэдром чуть сложнее, но идея та же:

  1. записать сумму векторов идущих в 12 точек
  2. выразить вектора через сумму радиус-вектора центра икосаэдра и противоположных направлений.
  3. выразить все члены суммы через cx, cy и cz

Рисунок к задаче

ссылка

отвечен 1 Ноя '12 3:47

изменен 1 Ноя '12 15:11

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,331
×402
×179
×3

задан
22 Окт '12 19:40

показан
1446 раз

обновлен
1 Ноя '12 20:24

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru