геометрия - Центр масс в стереометрии

Введём декартову систему координат с центром в центре сферы и осями параллельными прямым. $$\vec c\ \text{- радиус-вектор точки}\ A.$$ Разложим его на составляющие параллельные осям: $$\vec c = \vec {c _ x} + \vec {c _ y} + \vec {c _ z}.$$

Любой радиус-вектор точек пересечения прямых и сферы можно представить в виде суммы: $$\vec {r _ i} = \vec {c} + \vec {a _ i}.$$

Центр масс (в предположении, что все точки имеют равную массу): $$\vec {r _ с} = \frac{1}{6} \sum^6 _ {i=1}\vec {r _ i} = \frac{1}{6} \sum^6 _ {i=1}\left(\vec {c} + \vec {a} _ i\right) = \\ \frac{1}{6} \left( 6\vec {c _ x} + 6\vec {c _ y} + 6\vec {c _ z} + \vec{a _ {x1}} + \vec{a _ {x2}} + \vec{a _ {y1}} + \vec{a _ {y2}} + \vec{a _ {z1}} + \vec{a _ {z2}}\right). $$

Рисунок ниже.

Из рисунка видно, что $$\left\{\begin{eqnarray} \vec{a_{x1}} + \vec{a_{x2}} = -2\vec{c_x} \\ \vec{a_{y1}} + \vec{a_{y2}} = -2\vec{c_y} \\ \vec{a_{z1}} + \vec{a_{z2}} = -2\vec{c_z} \\ \end{eqnarray}\right.$$

Тогда центр масс равен $$ \vec {r_с} = \frac 1 6 \left( 4\vec {c_x} + 4\vec {c_z} + 4\vec {c_z}\right) = \frac 2 3 \vec{c}. $$

С икосаэдром чуть сложнее, но идея та же:

1. записать сумму векторов идущих в 12 точек
2. выразить вектора через сумму радиус-вектора центра икосаэдра и противоположных направлений.
3. выразить все члены суммы через cx, cy и cz