теория-чисел - Как доказать,что при любом n-натуральное выражение $%n^3-n$% чётное?

$%n^3-n=n(n^2-1)=(n-1)n(n+1)$%. Среди трех последовательных чисел обязательно есть четное. Значит, все произведение четное.

Если n - нечетное, то n в кубе - нечетное число( т.к при умножении нечетного числа на нечетное в результате всегда будет нечетное число ). От нечетного отнять нечетное - всегда четное.

Если n - четное, то n в кубе - четное( по обратному св-ву ). При вычитании из четного числа четного результат также будет четным числом.

Все вышесказанное базируется на элементарной теории чисел.

Если число $%n$% четное, то $%n^3$% тоже четное. Тогда разность четных есть четное. При $%n$% нечетном $%n^3$% нечетное, но разность опять-таки четное число.

При натуральном n могут быть лишь два случая: 1)n чётное - тогда и куб его чётное, а разность чётных величин - также чётная: 2a - 2b = 2(a - b)

2) n нечётное - тогда и куб его будет нечётным, а разность нечётных величин - чётная: (2a-1) - (2b+1) = 2a - 2b -2 или (2a-1) - (2b+1) = 2(a - b -1)