Дана правильная треугольная призма ABCA1B1C1 , стороны основания которой равны 2*(корень из 7) Сечение, содержащее боковое ребро AA1 и проходящее через середину M ребра B1C1, является квадратом. Найдите расстояние между прямыми A1B и AM.

Плохо понимаю стереометрию, объясните пожалуйста подробно как решать!

задан 13 Мар '16 23:25

Тут конструкция простая (боковое ребро сразу находится), поэтому должно быть геометрическое решение. Но такие задачи всегда можно решить "бездумно" методом координат. Прямые здесь параметризуются просто, а для расстояния между ними есть готовая формула. Или можно ей не пользоваться, а найти расстояние аналитически.

(14 Мар '16 0:04) falcao

не проходили мы еще метод координат :С

(14 Мар '16 6:07) Даниил Ребянин

@Даниил, кроме практичного координатного метода, есть 3 "геометрических" способа находить расстояние между скрещивающимися.
1) Строим явно общий перпендикуляр и находим его длину. Применяется редко, т.к. бывает трудно этот общий перпендикуляр "увидеть" и построить ( хотя в этой задаче это как раз получилось простым решением ).
2) Через одну из данных скрещивающихся проводим плоскость ПАРАЛЛЕЛЬНУЮ второй скрещивающейся, и ищем расстояние от этой второй прямой ( от любой ее точки ) до построенной параллельной ей плоскости.

(14 Мар '16 14:57) foxy

3) "Расстояние между скрещивающимися равно расстоянию между их проекциями на плоскость, перпендикулярную одной из этих скрещивающихся". Т.е. строим плоскость ПЕРПЕНДИКУЛЯРНУЮ одной из заданных прямых. Тогда "первая" прямая на такую перпендикулярную ей плоскость проецируется, очевидно, в точку ( в точку ее пересечения с этой плоскостью ). И вторую скрещивающуюся тоже проецируем на эту плоскость ( проекцией будет какая-то прямая ). И потом уже в плоскости ищем расстояние от точки, которая была проекцией первой прямой, до прямой, являющейся проекцией второй скрещивающейся.

(14 Мар '16 14:59) foxy
10|600 символов нужно символов осталось
3

Если совсем подробно - то..

Очевидно, сечение о котором говорится в условии - это $%AA_1MN$%, где $%M$% и $%N$% - середины ребер $%B_1C_1$% и $%BC$% соответственно ( и плоскость такого сечения, очевидно, перпендикулярна плоскостям оснований ). Т.е. так как это сечение - квадрат, то высота призмы ( ее боковое ребро ) = высоте правильного треугольника $%AN = h = a\cdot \sqrt{3}/2 = 2\sqrt{7}\cdot \sqrt{3}/2 = \sqrt{21}$%.
Ищем расстояние между скрещивающимися $%A_1B$% и $%AM$%.

"Плохой" способ решения ( пусть тоже будет, т.к. в других задачах подобное применяется часто ). Строим плоскость, содержащую, например, прямую $%AM$% и параллельную прямой $%A_1B$% ( можно было наоборот нарисовать плоскость, проходящую через $%A_1B$% и параллельную $%AM$% ). Для этого: через т. $%M$% проводим прямую $%ME || A_1B$%; плоскость, заданная параллельными прямыми $%A_1B$% и $%AM$%, пересекает 2 параллельные плоскости оснований по ПАРАЛЛЕЛЬНЫМ прямым, т.е. если точка $%E$% принадлежит "нижнему" основанию, то должно быть $%A_1M || BE$% ( т.е. $%BA_1ME$% - параллелограмм, и $%BE = A_1M = \sqrt{21}$% ). Теперь по построению $%A_1B$% параллельна плоскости $%AME$% ( т.к. $%A_1B || ME$% ), и ищем расстояние от любой точки $%A_1B$% ( например от точки $%B$% ) до плоскости $%AME$%. Оно = высоте пирамиды $%BAME$%, проведенной из вершины $%B$% к основанию $%AME$%. Но построить такую высоту $%H$% сложно, поэтому ищем "через объем". С одной стороны $%V_{BAME} = 1/3\cdot S_{\Delta AME}\cdot H$%, а с другой стороны: $%V_{BAME} = 1/3\cdot S_{BAE} \cdot MN$% ( т.к. высотой из точки $%M$% к основанию $%BAE$% будет высота призмы $%MN = \sqrt{21}$% ( хотя высота будет при этом "находиться за пределами" самой пирамиды $%BAME$%, но это ничего не меняет )).
В $%\Delta ABE$% угол $%\angle ABE = 60^0 + 90^0 = 150^0$%, и площадь треуг-ка $%S_{ABE} = 1/2\cdot 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{21} \cdot sin(150^0) = 7 \sqrt{3}/2$%. Т.е. объем пирамиды: $%V_{BAME} = 1/3\cdot 7\sqrt{3} /2 \cdot \sqrt{21} = 7\sqrt{7} /2$%
И остается найти площадь треугольника $%AME$%. Его стороны "знаем" ( находим ): $%AM = \sqrt{2} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{42}$% ( это диагональ квадрата ), $%ME = A_1B = \sqrt{ (2\sqrt{7})^2 + (\sqrt{21})^2 } = \sqrt{ 28 + 21} = 7$%, и $%AE$% - из треугольника $%BAE$% по теореме косинусов: $% AE^2 = 21 + 28 - 2\cdot 2\sqrt{7} \cdot \sqrt{21}\cdot (-\sqrt{3} )/2 = 49 + 2\cdot 7 \cdot 3 = 91$%. Т.е. ( еще раз ) стороны: $%AM = \sqrt{42}$%, $%ME = 7 = \sqrt{49}$% и $%AE = \sqrt{91}$%. Но $%91 = 42 + 49$%, т.е. $%AE^2 = AM^2 + ME^2$%, т.е. "по теореме обратной к теореме Пифагора" треугольник - прямоугольный ( $%AM \perp ME$% ). Тогда его площадь: $%S_{AME} = 1/2\cdot AM\cdot AE = 1/2\cdot 7\sqrt{42}$%.
То есть $%1/3\cdot 1/2 \cdot 7\sqrt{42} \cdot H = 7\sqrt{7}/2$%, откуда $%H = 3\sqrt{7}/\sqrt{42} = 3/\sqrt{6} = \sqrt{6}/2$% --расстояние от точки $%B$% ( и от прямой $%A_1B$% до плоскости $%AME$% (равное расстоянию между скрещивающимися ).
alt text

Теперь нормальный способ решения =)) Найдем плоскость, перпендикулярную прямой $%AM$%. "Прямая перпендикулярна плоскости, если она перпендикулярна двум не параллельным прямым, лежащим в этой плоскости". Очевидно, что $%AM \perp A_1N$% ( т.к. это диагонали квадрата ). Кроме того, $%AN$% - это проекция наклонной $%AM$% на "нижнее" основание. И если проекция $%AN \perp BC$%, то и наклонная $%AM\perp BC$% ( теор. о 3-х перпендикулярах ). Можно по-другому: сказать, что прямая $%BC$% лежит в плоскости основания, которая перпендикулярна плоскости $%ANM$%, при чем $%BC$% перпендикулярна $%AN$% - линии пересечения этих плоскостей, значит, $%BC$% перпендикулярна всей плоскости $%ANM$%, тогда и $%BC\perp AM$%. Таким образом $%AM\perp A_1N$% и $%AM\perp BC$%, значит, $%AM$% перпендикулярна плоскости $%BA_1N$%. Но прямая $%A_1B$% этой плоскости вообще принадлежит ( ее даже проецировать на эту плоскость не надо ). Т.е. построив из точки $%O$% ( точки пересечения $%AM$% с плоскостью $%BA_1N$% ) перпендикуляр к стороне $%BA_1$% ( т.е. $%OT\perp A_1B$% )- получаем общий перпендикуляр двух скрещивающихся ( его длина = расстоянию между ними ). Треуг-к$%\Delta BNA_1$% - прямоугольный ( $%\angle BNA_1 = 90^0 )$%, и отрезок $%OT$% - это половина перпендикуляра к гипотенузе. А перп. к гипотенузе: $%NK = BN\cdot A_1N / A_1B = \sqrt{7}\cdot \sqrt{42}/7 = \sqrt{6}$%. И расстояние $%OT = \sqrt{6}/2$%

alt text

ссылка

отвечен 14 Мар '16 14:50

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,264
×577
×58
×37
×36

задан
13 Мар '16 23:25

показан
3489 раз

обновлен
14 Мар '16 14:59

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru