Ясно, что в конечномерном случае размерность сопряженного пространства $%L^{\ast}$% такая же, что и у данного $%L$%. Какова может быть размерность $%L^{\ast}$% в бесконечномерном случае $%L$%?

задан 14 Мар '16 22:14

изменен 14 Мар '16 23:32

falcao's gravatar image


191k1632

@stander: для написания "звёздочки" используйте команду \ast -- местный редактор обычный символ * часто передаёт неправильно, воспринимая как выделение жирного шрифта.

(14 Мар '16 23:34) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
0

Я буду рассматривать случай векторных пространств над $%\mathbb R$%. При желании, это можно обобщить на случай пространств над произвольным полем.

Пусть $%V$% бесконечномерно. Сравним его мощность с мощностью его базиса.

Рассмотрим такой вспомогательный факт: если $%A$% -- бесконечное множество, то множество всех его конечных подмножеств равномощно $%A$%. Это значит, что в счётном множестве число конечных подмножеств счётно, в континуальном -- континуально, и так далее. Для счётного множества имеется очень простая явная нумерация, но для прочих случаев эта идея уже не работает.

Здесь также достаточно доказать, что конечных подмножеств в $%A$% имеется не больше, чем мощность $%A$%, с учётом теоремы Кантора - Бернштейна. Используем известные факты о кардинальных числах (мощностях). Доказательства можно найти в учебниках по математической логике -- например, в книге Мендельсона (Предложение 4.35 на стр. 215 по изданию 1984 года). Утверждается, что всякое бесконечное множество равномощно своему декартову квадрату. Идея там примерно такая же, как и для нумерации пар натуральных чисел, только сначала множество надо вполне упорядочить по теореме Цермело (следствию аксиомы выбора). Из этого следует, что бесконечное множество также равномощно своей $%n$%-й декартовой степени для всякого натурального $%n$%.

Из сказанного также ясно, что декартово произведение $%A$% на $%\mathbb N$% равномощно $%A$% для бесконечного $%A$%. Теперь все конечные подмножества представим как объединение $%n$%-элементных при $%n\ge1$%, и ясно, что последних будет не больше $%A^n$%, что равномощно $%A$%. Объединяя счётное число множеств мощности $%A$%, получаем множество той же мощности.

Вернёмся к векторным пространствам. Пусть $%A$% -- бесконечный базис (Гамеля). Всякий вектор задаётся линейной комбинацией конечного числа векторов из $%A$%. Для каждого фиксированного конечного множества векторов, выбор коэффициентов осуществляется $%\mathbb R^m$% способами, где $%m$% -- число векторов. Это значит, что для каждого конечного (непустого) множества векторов имеется континуум способов выбора коэффициентов, и тогда векторов в $%V$% будет по мощности не больше $%A\times\mathbb R$%. С учётом предыдущего, последнее множество по мощности континуально, если $%A$% меньше континуума по мощности, и оно равномощно $%A$%, если мощность $%A$% не меньше мощности континуума.

Сделаем из сказанного вывод. Если бесконечный базис пространства $%V$% по мощности меньше континуума, то мощность $%V$% континуальна (ясно, что меньше она быть не может). Если же мощность базиса составляет континуум или более, то мощность $%V$% равна мощности базиса (то, что она не меньше, так же очевидно).

Теперь вернёмся к вопросу о сопряжённых пространствах. Всякий функционал на $%V$% однозначно задаётся своими значениями на базисных векторах пространства. Если $%A$% -- базис, то мощность $%V^{\ast}$% будет равна мощности $%\mathbb R^A\sim(2^\mathbb N)^A\sim2^{\mathbb N\times A}\sim2^A$%, что не меньше континуума. Тогда размерность $%V^{\ast}$% будет такая же, то есть $%2^A$%. Это больше, чем размерность $%V$%, которая равна мощности $%A$%.

ссылка

отвечен 15 Мар '16 0:36

@falcao: как-то решила опять обратиться к этому вопросу. Сначала вроде бы всё казалось ясным, но по прошествии определенного времени кое-что хотелось бы уточнить. Не могли бы Вы, пожалуйста, чуть подробнее рассказать про случай счётного пространства?

(4 Апр '16 20:59) stander

@stander: конкретизируйте, пожалуйста, свой вопрос. Что именно Вас интересует? Если говорить о пространствах над $%\mathbb R$%, то они не бывают счётными по очевидной причине.

(4 Апр '16 22:31) falcao

@falcao: прошу прощения! Я неправильно сформулировала вопрос: имелось в виду пространство со счётным базисом.

(4 Апр '16 23:21) stander

@stander: из сказанного здесь следует, что если пространство V имеет счётный базис A, то мощность V континуальна. Получается, что размерность V счётна, а размерность сопряжённого пространства континуальная. См. последние два абзаца.

(5 Апр '16 0:03) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×849

задан
14 Мар '16 22:14

показан
477 раз

обновлен
5 Апр '16 0:03

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru