Найти все значения а, при каждом из которых любое число является решением хотя бы одного из неравенств $%x^{2} + 5a^{2}+8a > 2(3ax+2), x^{2}+ 4a^{2} \geq a(4x+1)$%

задан 15 Мар '16 0:29

10|600 символов нужно символов осталось
0

Первое неравенство имеет вид $%(x-(a+2))(x-(5a-2)) > 0$%. Второе равносильно $%(x-2a)^2\ge a$%.

Ясно, что при $%a\le0$% любое число $%x$% будет решением второго из неравенств. Поэтому далее анализируем случай $%a > 0$%. Допустим, что существует такое $%x$%, при котором оба неравенства нарушаются. Тогда $%(x-(a+2))(x-(5a-2))\le0$% и $%|x-2a| < \sqrt{a}$%.

Равенство $%a+2=5a-2$% имеет место при $%a=1$%. Тогда из первого неравенства $%x=3$%, но оно второму неравенству уже не удовлетворяет. Поэтому $%a=1$% входит в ответ. Далее рассматриваем два случая.

1) $%0 < a < 1$%. Здесь $%5a-2 < a+2$%, и множество решений первого неравенства есть $%x\in[5a-2;a+2]$%. Для второго неравенства мы всегда имеем $%x\in(2a-\sqrt{a};2a+\sqrt{a})$%. Зададимся вопросом, когда эти множества пересекаются. Проще ответить на вопрос, когда они не пересекаются: такое бывает при $%a+2\le2a-\sqrt{a}$% или при $%2a+\sqrt{a}\le5a-2$%. Первое условие равносильно $%(\sqrt{a}-2)(\sqrt{a}+1)\ge0$%, то есть $%a\ge4$%, что выходит за рамки нашего случая. Второе условие равносильно $%(\sqrt{a}-1)(3\sqrt{a}+2)\ge0$%, что также невозможно.

Таким образом, промежутки пересекаются всегда, и это значит, что значения $%a\in(0;1)$% не входят в ответ.

2) $%a > 1$%. Здесь $%x\in[a+2;5a-2]$% для первого неравенства, и мы снова смотрим на то, когда нет пересечений у множеств решений. Это случай $%5a-2\le2a-\sqrt{a}$%, а также $%2a+\sqrt{a}\le a+2$%. Первое означает, что $%3a+\sqrt{a}\le2$%, но у нас это явно не так, поскольку левая часть больше $%4$%. Второе даёт $%(\sqrt{a}-1)(\sqrt{a}+2)\le0$%. Это значит, что $%a\le1$%, и это нам не подходит. Значит, и здесь промежутки пересекаются всегда. Значения $%a > 1$% также не входят в ответ.

Таким образом, условию удовлетворяют значения $%a\in(-\infty;0)\cup\{1\}$%.

ссылка

отвечен 15 Мар '16 1:13

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×5,013
×1,139
×683

задан
15 Мар '16 0:29

показан
530 раз

обновлен
15 Мар '16 1:13

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru