Составить уравнение плоскости, проходящей через точку $%М(-2;-3;1)$% и отсекающей от координатных осей равные отрезки. Написать каноническое уравнение перпендикуляра, опущенного из начала координат на эту плоскость. Мне главное разобрать, что откуда берется и как получается. Очень нужно именно понять, как это решается. Помогите, ведь всегда помогаете. Спасибо!

Надеюсь, уравнение плоскости я нашел правильно $%x+y+z=-4$%.

задан 23 Окт '12 15:21

изменен 23 Окт '12 23:31

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

10|600 символов нужно символов осталось
4

Как-то неясно записано условие. Что здесь понимать под фразой "равные отрезки"? Если это равные координаты, то Вы правильно записали уравнение плоскости. Если плоскость проходит через точку $%(x_0;y_0;z_0)$% перпендикулярно вектору $%\overrightarrow{(a;b;c)}$%, то ее уравнение можно записать в виде $%a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$%. При нашем предположении в качестве перпендикулярного вектора можно взять вектор $%\overrightarrow{(1;1;1)}$%, и Вы получите то уравнение плоскости, которое записали. В ином случае, можно, например, взять вектор $%\overrightarrow{(-1;1;1)}$%, получите другое уравнение плоскости. Каноническое уравнение перпендикуляра к плоскости будет иметь вид $%\frac{x-x_1}{a}=\frac{y-y_1}{b}=\frac{z-z_1}{c}$%, где $%(x_1;y_1;z_1)$% - координаты точки, через которую проходит перпендикуляр (в данном случае $%x_1=y_1=z_1=0).$%

ссылка

отвечен 23 Окт '12 17:22

@Anatoliy равные отрезки, скорее всего это равные координаты. А вот с перпендикуляром не совсем ясно, какое уравнение будет в итоге.

(23 Окт '12 22:04) Global

$%\frac{x-0}{1}=\frac{y-0}{1}=\frac{z-0}{1}\Leftrightarrow x=y=z.$%

(24 Окт '12 12:16) Anatoliy
10|600 символов нужно символов осталось
2

$%\frac{x}{a}+\frac{y}{b}+\frac{z}{c}=1 $%- это уравнение плоскости, которая пересекает оси $% Ox,Oy,Oz $% в точках $%(а;0;0),(0;b;0),(0;0;c).$% Если плоскость отсекает равные отрезки от координатных осей, значит проходит через точек $%(\pm а;0;0),(0;\pm a;0),(0;0;\pm а) (а>0).$% Отсюда $% 8$% уравнений . $%1) \frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1, 2)\frac{x}{a}+\frac{y}{a}-\frac{z}{a}=1, 3)\frac{x}{a}-\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1, $%

$%4)\frac{x}{a}-\frac{y}{a}-\frac{z}{a}=1, 5)-\frac{x}{a}+\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1,$%

$% 6)-\frac{x}{a}+\frac{y}{a}-\frac{z}{a}=1,7)-\frac{x}{a}-\frac{y}{a}+\frac{z}{a}=1, 8)-\frac{x}{a}-\frac{y}{a}-\frac{z}{a}=1.$%

Учытивая что плоскость проходит через точки $%M(-2;-3;1)$%, находим значения $%a.$% Но условию $%а>0$% удовлетворяют 3 из них 3)7)8). Эти уравнения $% \frac{x}{2}-\frac{y}{2}+\frac{z}{2}=1, \frac{x}{6}+\frac{y}{6}-\frac{z}{6}=-1, \frac{x}{4}+\frac{y}{4}+\frac{z}{4}=-1$%.

Получаем уравнения

  • $% x-y+z=2$%
  • $% z+y-z=6$%
  • $% x+y+z=-4.$%

Теперь решаем вторую часть задачи для плоскости $%\alpha $%,

уравнение которой$% x-y+z=2$%. Нормальный вектор этой плоскости $%(1;-1;1)$%.

Пусть $%OH\perp\alpha , H(x_0;y_0;z_0)$%.Ясно что $% x_0-y_0+z_0=2 (1).$%Так как вектор $%OH$% коллинеарен вектору $%(1;-1;1),$% значит $%\frac{x_0}{1}=\frac{y_0}{-1}=\frac{z_0}{1}\Leftrightarrow x_0=-y_0=z_0 (2).$%Отсюда $%x_0=\frac{2}{3},y_0=-\frac{2}{3},z_0=\frac{2}{3}, $% а уравнение прямой $% OH :$% $%\frac{x}{x_0}=\frac{y}{y_0}=\frac{z}{z_0},$% то есть $% x=-y=z.$% Аналогично можно решить для остальных двух плоскостей.

ссылка

отвечен 23 Окт '12 23:21

изменен 24 Окт '12 9:34

@ASailyan А откуда взято 2/3? Спасибо за подробное объяснение...

(24 Окт '12 0:41) Global

Из системы $%\left\{ \begin{aligned} x_0-y_0+z_0=2, \ x_0=-y_0=z_0. \ \end{aligned} \right.$%

(24 Окт '12 18:35) ASailyan
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×621
×117
×91

задан
23 Окт '12 15:21

показан
7584 раза

обновлен
24 Окт '12 18:36

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru