Решите уравнение в целых числах: $%\sqrt{ 9x^{2} +160x-800}=3x-y$%

задан 17 Мар '16 17:41

перемечен 14 Май '17 22:55

EdwardTurJ's gravatar image


1641296195

10|600 символов нужно символов осталось
4

Возводим в квадрат, добавляя условие $%3x\ge y$%. Получается $%160x-800=y^2-6xy$%, откуда $%y^2+800=x(160+6y)$% делится на $%160+6y$% (последнее число отлично от нуля, что очевидно). Из этого следует, что $%y=2z$% чётно. Тогда $%z^2+200$% делится на $%3z+40$%.

Выведем отсюда, что $%3400$% делится на $%3z+40$%. Для этого разделим $%9z^2+1800$% на $%3z+40$% с остатком: $%(3z+40)(3z-40)+3400$%. Таким образом, $%d=3z+40$% делит $%3400$%. У числа $%3400=2^35^217^1$% имеется $%24$% натуральных делителя, и вдвое больше целых делителей. Нам нужны те, которые при делении на $%3$% дают в остатке $%1$%. Их будет $%24$%, так как если делитель $%d$% не подходит, то $%-d$% подходит.

Для каждого такого целочисленного делителя $%d|3400$%, где $%d-1$% делится на $%3$%, полагаем $%z=(d-40)/3$%, $%y=2z$%, $%x=(z^2+200)/(3z+40)$%. Проверяем, верно ли неравенство $%3x\ge y$%. Это работа скорее для компьютера, которую он, собственно, и проделал :) Получился вот такой "ответище":

[86, -24], [5, 0], [369, -26], [30, -20], [9, -10], [6, -4], [-198, -1160], [-57, -310], [-33, -160], [-22, -72], [-30, -140], [-85, -480]

Здесь 12 решений. Можно ли это же самое получить вручную, я не знаю.

ссылка

отвечен 17 Мар '16 18:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×715
×224

задан
17 Мар '16 17:41

показан
802 раза

обновлен
14 Май '17 22:55

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru