исследовать функцию y=sin(xcosx) на равномерную непрерывность на R

задан 17 Мар '16 22:06

изменен 17 Мар '16 22:07

10|600 символов нужно символов осталось
0

Функция дифференцируема, поэтому фактически нам здесь достаточно проверить, ограничена ли её производная, рассматриваемая на всей числовой прямой.

Имеем $%y'(x)=\cos(x\cos x)\cdot(\cos x-x\sin x)$%. Из общих соображений легко увидеть, что ограниченности не должно быть за счёт роста $%x$%. Рассуждая строго, полагаем $%x=-\frac{\pi}2+2\pi n$%, где $%n\in\mathbb N$%. Тогда $%\cos x=0$%, $%\sin x=-1$%, первый сомножитель равен $%\cos 0=1$%, и для таких $%x$% получается $%y'(x)=x$%, то есть $%y'(-\frac{\pi}2+2\pi n)=-\frac{\pi}2+2\pi n$%.

Из того, что производная может принимать сколь угодно большие значения, легко следует отсутствие равномерной непрерывности. Это общий факт, и он легко доказывается, поэтому я думаю, что достаточно на него просто сослаться.

ссылка

отвечен 17 Мар '16 23:13

но здесь производная является неограниченной, но при этом не является бесконечно большой, поэтому мы не можем воспользоваться достаточным условием отсутствия равномерной непрерывности, которое говорит о бесконечно большой производной

(18 Мар '16 0:26) ark789

@ark789: это не важно. Из того, что производная может быть сколь угодно большой, всё легко следует. Грубо говоря, мы берём какое-нибудь "эпсилон" (например, 1) и показываем, что для него не подходит никакое "дельта". Рассматриваем точку $%x_1=-\pi/2+\pi n$% для достаточно большого $%n$%, и $%x_2=x_1+\delta$%. Легко показать, что разность значений функции будет примерно равна производной, умноженной на $%x_2-x_1=\delta$%. Тогда достаточно взять $%n > 1/\delta$% или типа того.

(18 Мар '16 1:01) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×44

задан
17 Мар '16 22:06

показан
195 раз

обновлен
18 Мар '16 1:01

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru