Найти множество точек непрерывности функции: $%f(x)=(x^3y + x^2y^2)/(x^3+y^3)$%, $%x+y\ne0$% и равна 0, если $%x+y=0$%. Является ли оно открытым или замкнутым?

задан 17 Мар '16 22:14

изменен 17 Мар '16 23:50

falcao's gravatar image


206k1636

10|600 символов нужно символов осталось
0

Пусть $%x+y\ne0$%. Тогда $%f(x,y)=\frac{x^2y(x+y)}{(x+y)(x^2-xy+y^2)}=\frac{x^2y}{x^2-xy+y^2}$%. Знаменатель не равен нулю (он обращается в ноль только при $%x=y=0$%), поэтому в точке $%(x;y)$% при $%y\ne-x$% функция будет непрерывной как частное двух непрерывных.

При фиксированном $%x$% и $%y\to-x$%, функция $%f(x,y)$% стремится к $%-\frac{x}3$%, поэтому ни в какой точке вида $%(x;-x)$%, где $%x\ne0$%, функция непрерывна не будет.

Что касается непрерывности функции в нуле, то она имеет место, так как при $%(x,y)\ne(0;0)$% имеет место неравенство $%\frac{|xy|}{x^2-xy+y^2}\le1$%, поэтому $%|f(x,y)|\le|x|\to0=f(0,0)$% при $%(x,y)\to(0;0)$%.

Множество точек непрерывности, тем самым, не будет ни открыто, ни замкнуто.

ссылка

отвечен 18 Мар '16 3:47

изменен 18 Мар '16 3:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×48
×30

задан
17 Мар '16 22:14

показан
188 раз

обновлен
18 Мар '16 3:49

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru