|
Известно, что $$ax^3+bx^2+cx+d$$ где a,b,c,d - данные целые числа, при любом делится на 5. Помогите пожалуйста доказать, что все числа a,b,c и d делятся на 5 задан 24 Окт '12 19:02 
vital-viza |
|
Обозначим $%P(x)=ax^3+bx^2+cx+d$%. При $%x=0, P(0)=d \Rightarrow d \vdots 5 $% При $% x=1, P(1)=a+b+c+d \Rightarrow (a+b+c+d)\vdots 5. $% При $% x=-1, P(-1)=-a+b-c+d \Rightarrow (-a+b-c+d)\vdots 5. $% $% (a+b+c+d)\vdots 5$% и $%d \vdots 5 \Rightarrow (a+b+c)\vdots 5.$% $% (a+b+c+d)\vdots 5$% и $%(-a+b-c+d)\vdots 5 \Rightarrow 2(b+d)=$% $%=((a+b+c+d)+(-a+b-c+d))\vdots 5.\Rightarrow $% $% (b+d)\vdots 5.$% Значит $%b\vdots 5$% $% (a+b+c)\vdots 5$% и $%b \vdots 5 \Rightarrow (a+c)\vdots 5.$% При $% x=2, P(2)=8a+4b+2c+d \Rightarrow 8a+4b+2c+d=((5a+4b+d)+2(a+c)+a)\vdots 5 \Rightarrow$% $%\Rightarrow a\vdots 5,$% и наконец $%c\vdots 5$% отвечен 24 Окт '12 20:14 
ASailyan |
Может быть" при любом целом значении $%x$% делится на $%5$%"?