2
1

$% \begin{bmatrix}x+1&x&x&...&x \\x&x+2&x&...&x\\x&x&x+3&...&x\\...&...&...&...&...\\x&x&x&...&x+n \end{bmatrix} $%

задан 23 Мар '16 19:47

изменен 26 Апр '19 12:08

%D0%9A%D0%B0%D0%B7%D0%B2%D0%B5%D1%80%D1%82%D0%B5%D0%BD%D0%BE%D1%87%D0%BA%D0%B0's gravatar image


7.6k213

10|600 символов нужно символов осталось
4

Выполню ниже выкладки на примере определителя четвёртого порядка, чтобы писанину уменьшить... но выводы буду делать общие... (кстати, рассмотрение определителей малых порядков (3-го - 5-го) весьма полезно в решении таких примеров)...

Данный определитель есть функция двух переменных - $%x$% и размера матрицы $%n$%... $$ f(x;n) = \begin{vmatrix} x+1 & x & x & x\\ x & x+2 & x & x\\ x & x & x+3 & x\\ x & x & x & x+4\\ \end{vmatrix} $$ Вычтем первую строку из всех последующих $$ f(x;n) = \begin{vmatrix} x+1 & x & x & x\\ -1 & 2 & 0 & 0\\ -1 & 0 & 3 & 0\\ -1 & 0 & 0 & 4\\ \end{vmatrix} $$ Поскольку $%x$% содержится только в первой строке, то функция линейна по этой переменной, то есть $%f(x;n)=A(n)x+B(n)$%... причём легко вычислить $%B(n)=n!$%, положив $%x=0$% и получив определитель диагональной матрицы...

Раскладывая преобразованный определитель по последнему столбцу (а потом полученный определитель по последней строке), получим $$ f(x;n) = (1)^{n+1}\cdot x \cdot \begin{vmatrix} -1 & 2 & 0 \\ -1 & 0 & 3 \\ -1 & 0 & 0 \\ \end{vmatrix} + 4\cdot f(x;n-1) = \\ (1)^{n+1}\cdot x \cdot (1)^{n}\cdot (-1) \cdot \begin{vmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 3 \\ \end{vmatrix} + 4\cdot f(x;n-1) $$ Итого, $$ f(x;n) = x\cdot (n-1)!+n\cdot f(x;n-1), $$ откуда $$ A(n)=(n-1)!+n\cdot A(n-1), $$ а вычисляя определитель первого порядка видим, что $%A(1)=1$%...

===============================

Как другой вариант вычисления $%A(n)$%... найти производную определителя и вычислить определители полученных матриц... выходит, что $$ A(n)=\frac{n!}{1}+\frac{n!}{2}+\frac{n!}{3}+\ldots +\frac{n!}{n} $$

ссылка

отвечен 23 Мар '16 20:32

изменен 23 Мар '16 20:49

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,851
×1,310
×102
×5

задан
23 Мар '16 19:47

показан
624 раза

обновлен
26 Апр '19 12:08

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru