|
Хочу дать на олимпиаде задачу. Оцените, пожалуйста, ее сложность (район? город? область?) Число увеличили в k раз. Может ли при этом сумма его цифр уменьшиться в k раз? а) при k = 2, б) при k = 3. Вариант задачи. Число увеличили в 2 раза. Может ли при этом сумма его цифр уменьшиться в k раз (k = 1, 2, ...)? Если да, укажите минимальное подходящее значение. Этот вариант уже сложнее. Не для района точно. задан 26 Окт '12 10:50 
DocentI |
|
При $%k=2$% достаточно легко удается получить пример простым подбором: $%57, 114$%. При $%k=3$% получаются соотношения для суммы цифр начального числа (делится на три), следовательно и начальное число делится на три, а увеличенное - на 9. Следовательно и сумма цифр увеличенного числа делится на три, а тогда сумма начального числа делится на 27. Больше ничего очевидного нет: т.е. начальное число делится на 9 такое, что его сумма цифр делится на 27. Но пример подобрать можно, если понять, при каких цифрах наступает увеличение (уменьшение) суммы цифр, или есть опыт, например $%3 333 339, 10 000 017$%. Сумма цифр первого числа 27, второго (утроенного) 9. На мой взгляд, для районной олимпиады - это слишком непросто. отвечен 26 Окт '12 16:43 
Lyudmyla Для k = 2 есть и проще: $%6\cdot2 = 12$%. На самом деле я спуталась при формулировке условия: надо было в обоих случаях, чтобы сумма цифр была втрое больше, это сложнее.
(27 Окт '12 0:47)
DocentI
Я не старалась найти минимальное число, просто набор троек при умножении на 3 так легко "перемахивает" в нули (чтобы было уменьшение), несколько подборов все и решило. К варианту задачи $%k=1: 9, 18, 27, 36...; k=2: 6, 15, ...,51, 57, 66, 75...; k=3: 55566, 55656, 56556, 65556, 66555,...; k=4: 665...5$% (12 штук "5"); k=5; 5, 55, 555...$%
(27 Окт '12 19:58)
Lyudmyla
Да, примерно так. Только для k = 4 можно подобрать число поменьше, например, 5555556. Осталось доказать, что k > 5 невозможно.
(27 Окт '12 22:38)
DocentI
Умножение на 2 дает уменьшение суммы цифр, если участвуют (в том числе) цифры 5,6,... Рассмотрим конструкцию 665..5 (k пятерок): 66, 132 (суммы 12,6); 665, 1330 (суммы 12+5, 6+1); 6655, 13310 (суммы 12+5+5; 6+1+1), или $%12+5k=(6+k)m$%, где m указывает, во сколько раз происходит уменьшение. При $%m=2, k=0, 66; m=3, k=3, 66555$% и все другие версии, полученные перестановкой этих цифр. При $%m=4, k=12$%. Можно рассматривать и другие конструкции, например 5..51 (k пятерок): 1,2; 51,102; 551,1102, или $%1+5k=(2+k)m$%. При $%m=2, k=1, 51; m=4, k=7$% и версии, полученные перестановкой цифр.
(28 Окт '12 14:32)
Lyudmyla
|