задан 26 Окт '12 13:23

изменен 26 Окт '12 16:24

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

Если поможет, то есть явный ответ a = b = c = 2.

(27 Окт '12 17:51) gecube

Обычно в подобных задачах учитывают делимость и остатки.

(27 Окт '12 17:57) DocentI

А где возникла задача? Уж больно она похожа на http://ru.wikipedia.org/wiki/Великая_теорема_Ферма

(2 Ноя '12 4:06) at1
10|600 символов нужно символов осталось
10

Сначала рассмотрим остатки при делении на $%4$%. Ясно, что степень $%5$% будет давать в остатке $%1$%, и это же будет верно для $%3^a$%, откуда $%a$% чётно.

Далее, рассмотрим остатки при делении на $%3$%. В левой части равенства остаток равен $%1$%. Это значит, что $%5$% возводится в чётную степень, так как остатки при делении на три у степеней $%5$% чередуются. Получили, что $%c$% также чётно.

Положим теперь $%a=2m$%, $%c=2n$%. Уравнение можно переписать в виде $%4^b=(5^n-3^m)(5^n+3^m)$%. В правой части оба сомножителя чётны; разделим каждый из них на $%2$%, что приводит к $$4^{b-1}=\frac{5^n-3^m}2\cdot\frac{5^n+3^m}2.$$

Ясно, что каждый из сомножителей в правой части будет степенью двойки. Но сумма этих сомножителей равна $%5^n$%, и потому нечётна. Так может быть только если один из этих сомножителей равен $%1$%. Понятно, что им может быть только меньший из сомножителей, откуда сомножители равны $%1$% и $%4^{b-1}$%, соответственно. Вычитая теперь из большего сомножителя меньший, мы имеем, с одной стороны, $%3^m$% (см. уравнение выше), а с другой -- у нас получилось $%4^{b-1}-1$%. Теперь $%3^m$% можно представить как разность квадратов, то есть $$3^m=(2^{b-1}-1)(2^{b-1}+1).$$ Получившиеся сомножители -- это степени тройки, но разность большего и меньшего равна $%2$%, то есть это $%1$% и $%3$%. Тем самым, $%b=2$%, $%m=1$%, $%a=2m=2$%, то есть $%5^c=3^2+4^2=5^2$%, и $%c=2$%.

Уравнение имеет в точности одно решение в натуральных числах: $%a=b=c=2$%.

ссылка

отвечен 7 Фев '13 19:01

изменен 8 Фев '13 1:50

chameleon's gravatar image


4.1k323

$${\text{Так может быть только если один из этих сомножителей равен}} \ 1$$

Когда мы дойдем до этого места почему дальше нельзя просто потребовать $$\frac{{{5^n} - {3^m}}}{2} = 1 \Rightarrow {5^n} - {3^m} = 2$$

$${\text{Это возможно только когда}} \ m = n = 1$$

Далее решение очевидно.

(19 Май '14 1:22) void_pointer

@void_pointer: а откуда мы знаем, что степень числа 5 не может превышать степень числа 3 ровно на 2 ещё в каких-то случаях кроме указанного? Это совершенно не очевидно. Общая проблема "близости" степеней тех или иных натуральных чисел достаточно сложна.

(19 Май '14 2:26) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,762
×570

задан
26 Окт '12 13:23

показан
1958 раз

обновлен
19 Май '14 2:26

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru