алгебра - Как решить уравнение в натуральных числах $%3^a+4^b=5^c$%?

Сначала рассмотрим остатки при делении на $%4$%. Ясно, что степень $%5$% будет давать в остатке $%1$%, и это же будет верно для $%3^a$%, откуда $%a$% чётно.

Далее, рассмотрим остатки при делении на $%3$%. В левой части равенства остаток равен $%1$%. Это значит, что $%5$% возводится в чётную степень, так как остатки при делении на три у степеней $%5$% чередуются. Получили, что $%c$% также чётно.

Положим теперь $%a=2m$%, $%c=2n$%. Уравнение можно переписать в виде $%4^b=(5^n-3^m)(5^n+3^m)$%. В правой части оба сомножителя чётны; разделим каждый из них на $%2$%, что приводит к $$4^{b-1}=\frac{5^n-3^m}2\cdot\frac{5^n+3^m}2.$$

Ясно, что каждый из сомножителей в правой части будет степенью двойки. Но сумма этих сомножителей равна $%5^n$%, и потому нечётна. Так может быть только если один из этих сомножителей равен $%1$%. Понятно, что им может быть только меньший из сомножителей, откуда сомножители равны $%1$% и $%4^{b-1}$%, соответственно. Вычитая теперь из большего сомножителя меньший, мы имеем, с одной стороны, $%3^m$% (см. уравнение выше), а с другой -- у нас получилось $%4^{b-1}-1$%. Теперь $%3^m$% можно представить как разность квадратов, то есть $$3^m=(2^{b-1}-1)(2^{b-1}+1).$$ Получившиеся сомножители -- это степени тройки, но разность большего и меньшего равна $%2$%, то есть это $%1$% и $%3$%. Тем самым, $%b=2$%, $%m=1$%, $%a=2m=2$%, то есть $%5^c=3^2+4^2=5^2$%, и $%c=2$%.

Уравнение имеет в точности одно решение в натуральных числах: $%a=b=c=2$%.