1) Сравните по величине 2014-е члены рекуррентных последовательностей: $%a_0=b_0=0, a_{n+1}=a_n^2+5, b_{n+1}=b_n^2+2^n$%
2) Найдите как можно более точную асимптотику последовательности $%a_n$%

задан 25 Мар '16 1:23

изменен 25 Мар '16 1:37

@Uchenitsa: а для $%b_{n+1}$% уравнение точно верное? Там получается не рекуррентная формула.

(25 Мар '16 1:31) falcao

@falcao, теперь рекуррентная))

(25 Мар '16 1:37) Uchenitsa
10|600 символов нужно символов осталось
1

1) Докажем, что последовательность $%a_n$% растёт быстрее, то есть $%a_n > b_n$% при всех $%n\ge1$%. Рассмотрим отношение $%\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}=\dfrac{a_n^2+5}{b_n^2+2^n}=\left(\dfrac{a_n}{b_n}\right)^2\cdot\dfrac{1+5a_n^{-2}}{1+2^nb_n^{-2}}$%. Ясно, что $%a_1=5$%, $%b_1=1$%, поэтому $%\frac{a_1}{b_1}\ge5$%. Достаточно доказать, что дробь в конце предыдущей формулы не меньше $%\frac15$% при $%n\ge1$%. Тогда из $%\dfrac{a_n}{b_n}\ge5$% следует $%\dfrac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\ge5$%, и по индукции утверждение будет доказано.

Легко видеть, что $%b_n\ge2^{n-1}$% при $%n\ge1$%. Отсюда следует, что $%b_n^2\ge2^{2n-2}$%, и потому $%2^nb_n^{-2}\le2^{2-n}\le2$% при $%n\ge1$%. Тем самым, $%\dfrac{1+5a_n^{-2}}{1+2^nb_n^{-2}} > \dfrac1{1+2^nb_n^{-2}}\ge\dfrac13 > \dfrac15$%.

2) Ясно, что из $%a_1=5$% следует $%a_2 > 5^2$%, $%a_3 > 5^4$% и так далее, то есть $%a_n$% растёт быстрее, чем $%5^{2^{n-1}}=K_1^{2^n}$%, где $%K_1=\sqrt5$%. Приемлемой верхней оценкой в этом случае можно считать неравенство вида $%a_n < K_2^{2^n}$% для некоторой константы $%K_2$%. Фактически, мы этим доказываем, что последовательность $%\frac{\log a_n}{2^n}$% является ограниченной.

Заметим, что $%\log a_{n+1}=\log(a_n^2+5)=\log(a_n^2(1+5a_n^{-2}))=2\log a_n+\log(1+5a_n^{-2})$%. Применим неравенство $%\ln(1+t) < t$%, считая далее логарифм натуральным. После деления на степень получится $%\dfrac{\log a_{n+1}}{2^{n+1}} < \dfrac{\log a_n}{2^n}+\dfrac5{2^na_n^2}$%. Отсюда очевидным образом следует ограниченность последовательности $%\dfrac{\log a_n}{2^n}$% ввиду сходимости ряда с общим членом $%\dfrac5{2^na_n^2}$%. Ясно также, что величину этой суммы легко оценить сверху какой-то конкретной константой, но вряд ли можно сосчитать точно.

ссылка

отвечен 26 Мар '16 0:21

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×154
×63
×48
×21

задан
25 Мар '16 1:23

показан
567 раз

обновлен
26 Мар '16 0:21

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru