Пусть кривизна вершины -- это разность между $%2 \pi$% и суммой мер входящих в неё плоских углов. Покажите, что для выпуклого многогранника сумма "кривизн" всех вершин равна $%4\pi$%.

задан 27 Мар '16 23:30

изменен 28 Мар '16 1:35

10|600 символов нужно символов осталось
1

Здесь должна быть разность между $%2\pi$% и суммой плоских углов (последняя всегда меньше $%2\pi$%).

Применим формулу Эйлера для многогранников: В-Р+Г=2, где буквы обозначают количество вершин, рёбер и граней. Обозначим периметры граней через $%n_1$%, ... , $%n_Г$%. Сумма углов $%n$%-угольника равна $%\pi(n-2)$%. Поэтому сумма углов по всем граням составляет $%\pi(n_1+\cdots+n_Г)-2\piГ$%. Легко заметить, что сумма периметров граней равна $%2Р$%, так как каждое ребро лежит на границе двух граней. Это значит, что сумма углов всех граней равна $%2\pi(Р-Г)=2\pi(В-2)$%.

Теперь просуммируем по всем вершинам их "кривизны". По определению, это даст $%2\piВ$% минус сумма величин всех углов, то есть получится $%2\pi(В-В+2)=4\pi$%.

ссылка

отвечен 28 Мар '16 1:34

@falcao, возможно я ошибаюсь, но "периметр грани" - здесь не очень удачно звучит... ведь периметр это сумма длин, а не число рёбер грани...

(28 Мар '16 3:25) all_exist

@all_exist: это стандартный для дискретной математики термин. Все рёбра графа имеют как бы единичную длину.

(28 Мар '16 3:30) falcao

ну, "тады, ой"(с) ... )))

(28 Мар '16 3:37) all_exist
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×304
×46
×23

задан
27 Мар '16 23:30

показан
524 раза

обновлен
28 Мар '16 3:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru