p>5, p-простое число, докажите что число p^8-1 делиться на 240. Если можно пожалуйста.

задан 1 Апр '16 0:06

изменен 1 Апр '16 0:07

1

Надо доказать делимость числа на 16, 3, 5 по (отдельности). Раскладываем на множители произведение: $%(p^4+1)(p^2+1)(p+1)(p-1)$%. Все сомножители чётны, поэтому всё делится на 16 (легко показать, что и на 32 тоже -- за счёт того, что из чисел p+1, p-1 одно кратно четырём). Поскольку p не делится на 3, одно из соседних чисел делится. Наконец, p не делится на 5, откуда $%p=5k\pm1$% или $%p=5k\pm2$%. В первом случае $%p\pm1$% делится на 5, во втором $%p^2+1$% делится на 5.

(1 Апр '16 0:23) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
1

Проверим делимость на 5. Если число $%a$% не делится на 5, то $%a^4$% всегда даёт остаток 1 при делении на 5, откуда следует делимость на 5 $%a^8-1.$%

Проверим делимость на 3. Если число $%a$% не делится на 3, то $%a^2-1$% делится на 3.

Проверим делимость на 16. Разложим $%n^8-1=(n-1)(n+1)(n^2+1)(n^4+1).$% Если $%n - $% нечётное, то все множители чётные, из чего следует делимость на 16.

Так как 5, 3 и 16 попарно взаимно просты, отсюда следует делимотсь на 240.

ссылка

отвечен 1 Апр '16 0:16

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×204
×8

задан
1 Апр '16 0:06

показан
384 раза

обновлен
1 Апр '16 0:23

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru