Задача звучит следующим образом: Петя случайным образом разбивает число 10 на сумму трех положительных слагаемых. Опишите вероятностное пространство и вычислите вероятность того, что среди слагаемых будет число 4, если порядок слагаемых в разложении важен. Запишите ответ в виде обыкновенной несократимой дроби a/b.

Какие были попытки:

1) Выберем три числа: x1, x2 и x3, где x1 фиксировано и равно 4-ем. Тогда на графике где оси -- x2 и x3 получим вероятностное пространство представляющее из себя квадрат со стороной 6. Так как сумма трех чисел должна быть равна 10, то x2+x3=6 -- единственное ограничение. Это уравнение выглядит как диагональ квадрата (из [0,6] в [6,0]). Но площадь этой диагонали равна нулю, однако, ноль -- неверный ответ.

2) На отрезке от 0 до 10 выберем два числа (х1 и х2) таких, которые разобьют наш отрезок на три части. После этого хотелось бы наложить ограничения на эти х1 и х2, причем в виде неравенств, чтобы вырисовывалась площадь, но я не смог.

задан 2 Апр '16 0:10

10|600 символов нужно символов осталось
0

Судя по характеру задачи, имеется в виду, что число разбивается на натуральные слагаемые. Если им разрешить быть любыми действительными, то из общих соображений очевидно, что вероятность получить ровно 4 при бросании точек в отрезок, равна нулю. То есть вариант с геометрической вероятностью может быть смело отброшен как не подходящий по смыслу.

Поэтому здесь имеются в виду дискретные представления числа типа 10=1+6+3, 10=2+4+4 и т.п., где порядок слагаемых важен. Все эти способы, число которых нетрудно найти, предполагаются равновероятными. Надо заметить, что все эти оговорки должны быть сделаны авторами формулировки условия, и без них оно будет выглядеть некорректным.

Для нахождения количества представлений натурального числа $%n$% в виде суммы $%m$% натуральных слагаемых (при $%n\ge m$%) имеется простая формула общего вида: это $%C_{n-1}^{m-1}$%. Это следует как из формулы для числа сочетаний с повторениями, так и из следующего соображения. Представим себе число $%n$% в виде ряда из $%n$% "палочек". Между ними имеется $%n-1$% промежуток. Разбивая число на сумму $%m$% слагаемых, мы выделяем $%m-1$% из этих промежутков в разных местах, и здесь ясно, что число способов описывается в виде числа сочетаний.

Применительно к нашему случаю, получается $%C_9^2=\frac{9\cdot8}2=36$%. Случаев здесь не так много, и при желании их можно было бы вообще перебрать вручную, заодно поняв, в скольких из них получится хотя бы одно из слагаемых, равное 4. Это количество мы подсчитаем так. Первое слагаемое принимает значения от 1 до 5. Если оно равно 2, то далее должно быть 4+4: это 1 способ. Если первое слагаемое равно 4, то подходят все 5 способов разбиения 6 в виде двух слагаемых: 1+5=2+4=...=5+1. Наконец, для каждого из значений 1, 3, 5 первого слагаемого, имеется по 2 варианта (второе или третье слагаемое равно 4, но не оба вместе). Итого получается 1+5+2+2+2=12 вариантов из 36. И тогда вероятность (классическая, а не геометрическая) равна 12/36, и в ответе указывается несократимая дробь 1/3.

ссылка

отвечен 2 Апр '16 1:26

Благодарю, все верно! Я с самого начала почему-то упорно искал здесь геометрическую вероятность вообразив, что слагаемые лежат в R.

(2 Апр '16 1:44) Ildar_K
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,189
×12

задан
2 Апр '16 0:10

показан
852 раза

обновлен
2 Апр '16 1:44

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru