Найдите число abc,( все цифры различны) которое число abc,cab и bca образуют геометрическую прогрессию. Решите пожалуйста,если можно.

задан 2 Апр '16 9:31

10|600 символов нужно символов осталось
3

Как и в аналогичной задаче про арифметическую прогрессию, записываем условие в виде уравнения. Здесь получается $%(100a+10b+с)(100b+10c+a)=(100c+10a+b)^2$%: квадрат среднего равен произведению крайних. Раскрытие скобок даёт $%999b^2-9990c^2+9990ab-999ac=0$% (члены с $%a^2$% и $%bc$% сокращаются), и после успешного сокращения на $%999$% получится уравнение $%b^2-10c^2+10ab-ac=0$%.

Можно заметить, что $%b^2-c^2+ab-ac=9(c^2-ab)$%, то есть $%(b-c)(a+b+c)=9(c^2-ab)$%. Судя по всему, здесь необходим какой-то перебор вариантов. Нужно позаботиться о том, чтобы он не был слишком длинным. Легко видеть, что $%b-c$% не делится на $%9$%, поэтому сумма цифр $%a+b+c$% кратна трём. Причём, если она на $%9$% не делится, то $%b-c$% делится на три. Сразу ясно, что сумма не равна ни $%3$%, ни $%6$%.

Если $%a+b+c=9$%, то $%b-c=c^2-ab$%. Цифра $%c$% находится между $%a$% и $%b$%. Рассматривая равенство $%(a+1)b=c(c+1)$%, мы сразу видим, что $%c\le6$%. Беглый просмотр показывает, что значения $%c=6,5,4$% не годятся, а при $%c=3$% мы получаем решение $%243$% для числа $%\overline{abc}$%. При этом возникает геометрическая прогрессия $%243=3^5$%, $%324=2^23^4$%, $%432=2^43^3$%. Ввиду того, что уравнение однородно, подойдут удвоенные цифры, что даёт второе решение $%486$%, $%648$%, $%864$%.

Если сумма цифр равна $%12$% или $%15$%, то $%b-c$% кратно трём, и в первом варианте без повторений цифр могут получиться только 1, 4, 7 (в каком-то порядке), но тогда $%c=4$% как среднее число, и $%c^2-ab$% оказывается нечётным, что невозможно. Во втором варианте получаются цифры 2, 5, 8, если избегать повторений, где $%c=5$%. Но тогда правая часть $%c^2-ab$% не делится на $%5$%, в то время как левая -- делится.

При сумме цифр $%18$% получается только один учтённый нами вариант (одна из цифр должна быть больше 6, и тогда вариантов совсем мало). Сумма цифр $%21$% возможна в немногих случаях, и там можно увидеть, что $%b-c$% не делится на $%3$%, если цифры не повторять. Последний вариант, когда сумма цифр равна $%24$%, даёт цифры 7, 8, 9 , которые по той же причине не подходят. Итого получается два решения.

ссылка

отвечен 2 Апр '16 13:14

10|600 символов нужно символов осталось
2

Последняя цифра квадрата числа b должна совпадать с последней цифрой произведения ac. Кроме этого необходимо, чтобы число с находилось между a и b. Рассмотрим все возможные варианты значений b:

  • b=1, тогда возможен вариант a=7, c=3.
  • b=2, тогда возможны варианты a=6, c=4 или a=8, c=7.
  • b=4, тогда возможен вариант a=2, c=3 (432, 324, 243 подходит).
  • b=6, тогда возможен вариант a=2, c=3.
  • b=8, тогда возможны варианты a=1,
    c=4 или a=4, c=6 (864, 648, 486 подходит).
  • b=9, тогда возможен вариант a=3, c=7.

Для остальных значений b невозможно подобрать соответствующие а и с.

ссылка

отвечен 2 Апр '16 12:38

изменен 2 Апр '16 13:35

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×50

задан
2 Апр '16 9:31

показан
481 раз

обновлен
2 Апр '16 13:35

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru