Как доказать, что $%\lim_{n\to\infty} 1/n\cdot(1+\sqrt2+...+\sqrt n)= +\infty$%, народ, помогите, пожалуйста. Распиши подробнее, пожалуйста! =)

задан 28 Окт '12 22:34

изменен 29 Окт '12 0:06

%D0%A5%D1%8D%D1%88%D0%9A%D0%BE%D0%B4's gravatar image


5525

А чем можно пользоваться? Такой пример хорошо решается через интегральную сумму: выражение равно $%\sqrt n\cdot S_n$%, где $%S_n$% - интегральная сумма функции $%\sqrt x$% на отрезке [0; 1]

(28 Окт '12 22:43) DocentI

Нельзя через интегральную сумму (не проходили ещё) Решали через Сумму C

(28 Окт '12 22:47) zmlokaloka
10|600 символов нужно символов осталось
2

1) Воспользуйтесь неравенством $%1/n\cdot(1+\sqrt2+...+\sqrt n)\ge \sqrt[n]{(1\cdot2\cdot3...n)^\frac{1}{2}}.$%

2) Возможно Вам нужно было применить признак Коши для этой последовательности. Суть этого признака: Последовательность $%x_n$% имеет конечный предел на множестве действительных чисел тогда и только тогда, если $%\forall\varepsilon>0,\exists M(\varepsilon)\in N:((\forall n>M,\forall p\in N)\Rightarrow |x_{n+p}-x_n|<\varepsilon).$%

Для последовательности $%x_n=\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}}{n}$% возьмем $%p=n$%, тогда $%|x_{n+p}-x_n|=|x_{2n}-x_n|=$%

$%=|\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{2n}}{2n}-\frac{1+\sqrt{2}+\sqrt{3}+...+\sqrt{n}}{n}|=|\frac{\sqrt{n+1}+\sqrt{n+2}+...+\sqrt{2n}-\sqrt{1}-\sqrt{2}-...-\sqrt{n}}{2n}|=$% $%=|\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{1}+\sqrt{n+2}-\sqrt{2}+...+\sqrt{2n}-\sqrt{n}}{2n}|=\frac{1}{2}(\frac{1}{\sqrt{n+1}+\sqrt{1}}+\frac{1}{\sqrt{n+2}+\sqrt{2}}+...+\frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{n}})>\frac{1}{2}\cdot n\cdot\frac{1}{\sqrt{2n}+\sqrt{2n}})=$%

$%=\frac{\sqrt{n}}{4\sqrt{2}}.$% Это значит, что, скажем, для $%\varepsilon=\frac{1}{4\sqrt{2}}$% такого $%M(\varepsilon)$% не существует. Последовательность имеет бесконечный предел.

ссылка

отвечен 28 Окт '12 23:01

изменен 29 Окт '12 13:04

10|600 символов нужно символов осталось
2

Самый простой способ теорема Штольца $$ x_{n} = \sqrt{1} + \sqrt{2}+....+ \sqrt{n}$$ ,$$ y_{n}=n $$ $$ \lim_{n \rightarrow { \infty} }x_{n} / y_{n} = \lim_{n \rightarrow { \infty} }(x_{n+1}- x_{n} ) / (y_{n+1}-y_{n}) =\lim_{n \rightarrow { \infty} }\sqrt{n+1}=\infty $$

ссылка

отвечен 7 Дек '12 22:33

10|600 символов нужно символов осталось
1

Можно в скрытом виде реализовать идею интеграла, если оценить функцию $%\sqrt{.}$% линейной. А именно, для $%i \le n$%, $%\sqrt i \ge i/\sqrt n$% (это легко проверить). Но тогда $%\sum \sqrt i \ge {(\sum i)\over \sqrt n}$%. Последняя сумма легко подсчитывается.

ссылка

отвечен 28 Окт '12 23:40

изменен 9 Дек '12 2:21

10|600 символов нужно символов осталось
1

Последовательность $$\frac{n^{\frac{3}{2}}-(n-1)^{\frac{3}{2}}}{\sqrt n}=\frac{n^3-(n-1)^3}{\sqrt n \left( n^{\frac{3}{2}}+(n-1)^{\frac{3}{2}} \right)}=\frac{3-\frac 3n + \frac 1{n^2}}{1+(1-\frac 1n)^{\frac{3}{2}}}$$ сходится, а значит, ограничена, т.е. $%n^{\frac{3}{2}}-(n-1)^{\frac{3}{2}} < C \sqrt n, \; C > 0,$% или $$\sqrt n > M \left( n^{\frac{3}{2}}-(n-1)^{\frac{3}{2}} \right), \; M > 0.$$ Отсюда $$1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 + ... \sqrt n > M [1^{\frac 32}-0^{\frac 32}+2^{\frac 32}-1^{\frac 32}+...+n^{\frac 32}-(n-1)^{\frac 32}]=M n^{\frac 23},$$ и $$\frac{1 + \sqrt 2 + \sqrt 3 + ... \sqrt n}{n} > M \sqrt n \to +\infty.$$

Другой способ. Пусть [$% \sqrt n $%] + 1 = $%k_0$% (где [.] - целая часть). Тогда $%\sqrt n < k_0 \leq \sqrt {n}+1$% и $$\frac{1}{n} \sum_{k=1}^n \sqrt k \geq \frac{1}{n} \sum_{k=k_0}^n \sqrt k \geq \frac{1}{n} (n - k_0) \sqrt {k_0} \geq \left(1 - \frac{\sqrt n + 1}{n} \right) \sqrt[4] n \to + \infty.$$

ссылка

отвечен 13 Янв '13 20:21

изменен 13 Янв '13 20:37

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×365
×234

задан
28 Окт '12 22:34

показан
1511 раз

обновлен
13 Янв '13 20:37

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru