Пусть (R,p) пространство, в котором метрика определяется формулой: p(x,y) = |f(x)-f(y)|, где f(x) = x^3 при x<=0 или arcctg(x) при x>0. Является ли данное пространство полным? Если нет, то опишите его пополнение.

задан 3 Апр '16 14:29

10|600 символов нужно символов осталось
1

Я написал рассуждение для случая арктангенса, и только потом заметил, что в условии дан арккотангенс. Решил пока оставить всё как есть, потому что такая задача тоже возможна. Для исходной постановки нужна небольшая модификация -- позже я её добавлю.

Из-за того, что арктангенс имеет конечный предел на бесконечности, в новой метрике фундаментальными окажутся последовательности, стремящиеся к $%+\infty$%. Чтобы они сходились, нужно к имеющейся прямой добавить новую точку $%+\infty$%, что и даст пополнение. Оно представляет собой замкнутый луч.

Реализовать его проще всего, взяв луч $%(-\infty;\frac{\pi}2]$% с обычной метрикой. Изометричное вложение старого пространства в новое (то есть в пополнение) будет задаваться теми же формулами, то есть точки $%x\le0$% будут переходить в $%x^3$%, а точки $%x > 0$% перейдут в $%\arctan x$%.

Добавление. Для случая арккотангенса, предел которого на бесконечности равен нулю, берём в качестве пополнения тот же отрезок. Он подходит, так как последовательности, стремящиеся к бесконечности, являются фундаментальными в новой метрике, и тогда для полноты пространства надо добавить новую точку "бесконечность". После этого отрезок от нуля до "бесконечности" нужно развернуть, и склеить в нуле, к которому стремятся (в обеих метриках) точки отрицательной полуоси.

То есть пополнение будет изоморфно лучу $%(-\infty;\frac{\pi}2]$% с обычной метрикой, а вложение строится по тому же принципу: точки $%x\le0$% переходят в $%x^3$%; точки $%x > 0$% переходят в $%{\rm arcctg\,}x$%.

ссылка

отвечен 3 Апр '16 15:44

изменен 4 Апр '16 2:32

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×413

задан
3 Апр '16 14:29

показан
574 раза

обновлен
4 Апр '16 2:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru