$%\dfrac{x^2}{x-1}+\sqrt{{x-1}}+\dfrac{\sqrt{x-1}}{x^2}=\dfrac{x-1}{x^2}+\dfrac{1}{\sqrt{{x-1}}}+\dfrac{x^2}{\sqrt{x-1}}$%

задан 6 Апр '16 3:03

10|600 символов нужно символов осталось
1

Положим $%a=x^2$%, $%b=\sqrt{x-1}$%. Уравнение имеет вид $%\frac{a}{b^2}+b+\frac{b}a=\frac{b^2}a+\frac1b+\frac{a}b$%. Домножим его на $%ab^2$%, получая $%a^2+ab^3+b^3=b^4+ab+a^2b$%. Легко заметить, что оно превращается в равенство при $%a=b$%, поэтому можно выделить общий множитель: $%a(a-b)+b^3(a-b)=b(a^2-b^2)=(ab+b^2)(a-b)$%.

При $%x > 1$%, то есть на области определения, очевидно, выполнено неравенство $%x^2\ge x\ge\sqrt{x} > \sqrt{x-1}$%. Поэтому на $%a-b$% можно сократить: $%a+b^3=ab+b^2$%. Теперь выделяется общий множитель $%b-1$% после группировки: $%b^2(b-1)=a(b-1)$%. Если $%b=1$%, то $%x=2$%, и это значение подходит. При $%b\ne1$% производим сокращение, что даёт $%a=b^2$%. Но у нас $%a=x^2\ge x > x-1=b^2$% на области определения, поэтому найденное выше решение единственно.

ссылка

отвечен 6 Апр '16 3:41

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×4,727
×921

задан
6 Апр '16 3:03

показан
443 раза

обновлен
6 Апр '16 3:41

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru