|
Была задача исследовать сходимость несобственного интеграла. Я решил так: для подынтегральной функции f(x) нашёл g(x) такую, что для любого x > 1 g(x) > f(x), g(x) = ((lnx) ^ 2) / x. Такой интеграл, очевидно, сходится, значит, и исходный интеграл также сходится. Верно ли я решил? Условие: http://storage2.static.itmages.ru/i/16/0406/h_1459968489_3908096_7132249bd7.png UPD: Неверно, уже понял. Помогите тогда решить, пожалуйста. задан 6 Апр '16 22:51 
Username0025 |
|
@Username0025, Логарифм на бесконечности растёт медленнее любой степенной функции... то есть $%\ln x \le C x^{\alpha}$%... При малых $%\alpha$% получаете оценку сходящимся интегралом... отвечен 7 Апр '16 0:43 
all_exist Ой, вернее, при x = 1 там неопределённость, не знаю, что с ней делать...
(7 Апр '16 22:13)
Username0025
Откуда тут неопределённости при $%x=1$%?... числитель нулевой ... знаменатель положительный... (((
(7 Апр '16 23:01)
all_exist
В исходной подынтегральной функции при x = 1 знаменатель равен 1 * sqrt(1 - 1)
(7 Апр '16 23:02)
Username0025
Хм... смотрю в комментарии, а не в условие... В единице предел Вашей функции равен нулю... то есть она там ограничена...
(7 Апр '16 23:05)
all_exist
Да, вы правы, там предел 0. Насчёт тогда +inf: видно, что на бесконечности знаменатель растёт быстрее, но как с помощью этого установить сходимость интеграла? Хочу в теме разобраться. Спасибо.
(7 Апр '16 23:19)
Username0025
Для функций вида $%\frac{1}{x^k}$% имеется утверждение, что интеграл на бесконечности сходится при $%k>1$% и расходится при $%k\le 1$%... (это проверяется в явном виде)... Вот этим и воспользуйтесь...
(7 Апр '16 23:47)
all_exist
@Username0025: вблизи x=1 положим x=1+t. Тогда логарифм имеет порядок t, в числителе t^2. В знаменателе величина порядка t^{1/2}. Частное имеет вид t^{3/2} вблизи нуля; от такой функции несобственный интеграл сходится.
(8 Апр '16 0:15)
falcao
Спасибо! В итоге я нашёл подходящую g(x) > f(x), такую что интеграл от g(x) сходится g(x) = (lnx) ^ 2 / x ^ (3 / 2)
(8 Апр '16 0:45)
Username0025
показано 5 из 8
показать еще 3
|
Это неверно, так как интеграл $%\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln^2x}{x}$% расходится.
Эх, да, я что-то затупил.