Была задача исследовать сходимость несобственного интеграла. Я решил так: для подынтегральной функции f(x) нашёл g(x) такую, что для любого x > 1 g(x) > f(x), g(x) = ((lnx) ^ 2) / x. Такой интеграл, очевидно, сходится, значит, и исходный интеграл также сходится. Верно ли я решил? Условие: http://storage2.static.itmages.ru/i/16/0406/h_1459968489_3908096_7132249bd7.png UPD: Неверно, уже понял. Помогите тогда решить, пожалуйста.

задан 6 Апр '16 22:51

изменен 6 Апр '16 23:08

Это неверно, так как интеграл $%\int_{1}^{+\infty}\frac{\ln^2x}{x}$% расходится.

(6 Апр '16 22:56) parquet

Эх, да, я что-то затупил.

(6 Апр '16 23:08) Username0025
10|600 символов нужно символов осталось
0

@Username0025, Логарифм на бесконечности растёт медленнее любой степенной функции... то есть $%\ln x \le C x^{\alpha}$%... При малых $%\alpha$% получаете оценку сходящимся интегралом...

ссылка

отвечен 7 Апр '16 0:43

Ой, вернее, при x = 1 там неопределённость, не знаю, что с ней делать...

(7 Апр '16 22:13) Username0025

Откуда тут неопределённости при $%x=1$%?... числитель нулевой ... знаменатель положительный... (((

(7 Апр '16 23:01) all_exist

В исходной подынтегральной функции при x = 1 знаменатель равен 1 * sqrt(1 - 1)

(7 Апр '16 23:02) Username0025

Хм... смотрю в комментарии, а не в условие...

В единице предел Вашей функции равен нулю... то есть она там ограничена...

(7 Апр '16 23:05) all_exist

Да, вы правы, там предел 0. Насчёт тогда +inf: видно, что на бесконечности знаменатель растёт быстрее, но как с помощью этого установить сходимость интеграла? Хочу в теме разобраться. Спасибо.

(7 Апр '16 23:19) Username0025

Для функций вида $%\frac{1}{x^k}$% имеется утверждение, что интеграл на бесконечности сходится при $%k>1$% и расходится при $%k\le 1$%... (это проверяется в явном виде)... Вот этим и воспользуйтесь...

(7 Апр '16 23:47) all_exist

@Username0025: вблизи x=1 положим x=1+t. Тогда логарифм имеет порядок t, в числителе t^2. В знаменателе величина порядка t^{1/2}. Частное имеет вид t^{3/2} вблизи нуля; от такой функции несобственный интеграл сходится.

(8 Апр '16 0:15) falcao

Спасибо! В итоге я нашёл подходящую g(x) > f(x), такую что интеграл от g(x) сходится g(x) = (lnx) ^ 2 / x ^ (3 / 2)

(8 Апр '16 0:45) Username0025
показано 5 из 8 показать еще 3
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×2,701
×1,052
×97

задан
6 Апр '16 22:51

показан
485 раз

обновлен
8 Апр '16 0:45

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru