интегралы - Абсолютная и условная сходимость интеграла

@all_exist, получилось так $$\int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin z}{\sqrt{z} + 1 + \cos z} dz$$

Как сделать вывод?

@all_exist, у вас есть идеи, как на абсолютную сходимость исследовать?

"А для условной - признак Дирихле работает хорошо..."

$%\int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin z}{\sqrt{z} + 1 + \cos z} dz$% А как доказать сходимость по признаку Дирихле?

Признак Дирихле можно применить, если выделить главную часть.

Тут точно можно выделить главную часть? Скажем оценка $%\frac{\sin z}{\sqrt{z} + 1 + \cos(x)}=\frac{\sin z}{\sqrt{z}} \pm O(|\sin z| \cdot (\frac{1}{\sqrt{z}}-\frac{1}{\sqrt{z}+1}))$% не достаточна

Интересное разложение.

Пробую доказать: $%\dfrac{1}{z+a}=\frac{1}{z}-\frac{a}{z^2}+O(\frac{1}{z^3})$%

или $%\dfrac{a^2}{(z+a)z^2}=O(\frac{1}{z^3})$%

Доказано

А зачем Вы делаете проверку? Сам вывод этого равенства по формуле Тейлора уже является доказательством.

Что ни сообщение, то для меня открытие. Я думал ряд Лорана для f(z) это что-то для меня не постижимое, а оказывается это всего лишь ряд Тейлора в нуле для функции f(1/z) (доопределенной по непрерывности). Верно? Странно что его изучают отдельно, в отдельной дисциплине

Ну, это не ряд Лорана, т.к. тут есть дробные степени.. Да и вообще не ряд, а именно формула Тейлора. А формула верна в окрестности нуля и неважно, что туда подставлять.

Понял. Но это формула Тейлора для другой функции. Не для $%\frac{1}{z+a}$% а для $%\frac{1}{1/u+a}$%. Для исходной же функции верна другая формула Тейлора $%\frac{1}{z+a}=1/a-z/a+O(z^2)$%

Тут нельзя говорить, что верно, а что не верно, без указания окрестности. Укажете окрестность, и, безусловно, какая-то из формул станет верна, а какая-то -- нет.

Формулы Тейлора в окрестности бесконечности не существует в принципе никогда. В обоих формулах окрестность 0.

То есть формула Тейлора для функции $%\dfrac{\sin(z)}{\sqrt(z)+1+\cos(z)}$% это $%\dfrac{\sin(z)}{\sqrt{z}+1+\cos(z)}=1/2 z+O(z^{3/2})$% в окрестности нуля. А в окрестности бесконечности её нельзя вычислить прямо. Поэтому приходится находить формулу Тейлора в окрестности 0 для функции $%\dfrac{\sin(1/u)}{\sqrt{1/u}+1+\cos(1/u)}$% а потом делать замену u=1/z и тогда уже получается ваша формула, но её нельзя называть формулой Тейлора для функции $%\dfrac{\sin(z)}{\sqrt{z}+1+\cos(z)}$%

@caterpillar: мне понятен принцип выделения "главной части", но как именно Вы формально получаете это из формулы Тейлора? Я имею в виду формулу с участием O(1/z^{1.5}). Я вижу это дело так: выделили "главную часть"; вычли; посмотрели на результат; вычли второй раз; увидели точность приближения за счёт свойств О-символики.

@falcao, $%\dfrac{1}{1+t}=1+t+O(t^2)$%, где $%t=\frac{1+\cos z}{\sqrt z}$%, а количество слагаемых в изначальной формуле прикидывается сразу, учитывая, что знаменатели будет домножаться ещё на один корень, так, чтобы под O оказалась та степень, которая в итоге нужна. Вот и получается, что достаточно двух слагаемых, а всё остальное загоняется в O-большое. Делать каждый раз проверки, выписывая по одному я не вижу смысла.

@caterpillar Я с вами во всем согласен и все понял что вы делаете, но единственное с чем я не согласен с названием: "формула Тейлора для функции $%\dfrac{\sin(z)}{\sqrt{z}+1+\cos(z)} $%"

@abc, ну вот для t -- это формула Тейлора, с чего ей перестать быть таковой от подстановки вместо t всего, что туда подставлять можно? То, что в учебниках не говорят про окрестность бесконечности -- а какой в этом смысл? Формула подразумевает, что в рамках её применимости в неё можно подставлять всё. Например, $%\sin^2\frac{1}{x}+\cos^2\frac{1}{x}=1$% Вы не перестанете называть основным тригонометрическим тождеством?

@caterpillar: да, это в принципе хороший способ, хотя я бы до его применения, скорее всего, не додумался.

Так не вопрос, формулу $%\frac{\sin z}{\sqrt z+1+\cos z}=\frac{\sin z}{\sqrt z}-\frac{\sin z(1+\cos z)}{z}+O\left(\frac{1}{z^{1,5}}\right)$% можно называть формулой Тейлора. Но формулой Тейлора для функции $%\frac{\sin (1/u)}{\sqrt (1/u)+1+\cos (1/u)}$% в окрестности нуля. Либо её можно называть формулой Тейлора для функции $%\frac{\sin z}{\sqrt z+1+\cos z}$% в окрестности бесконечности, но такое словосочетание меня немного шокирует против этого я и возражал. Но если вдруг это общепринятая терминология, то беру назад свои возражения. Просто хотел прояснить.

@abc: я так понял объяснение, что рассматривается функция 1/(1+t)=1-t+O(t^2) при t=(1+cos(z))/sqrt(z) в окрестности нуля, так как t->0.