Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость:

$$\int\limits_0^1 \frac{sin(1/x)}{x^2 + \sqrt{x^3} + x^2cos(1/x)} dx $$

Сделал замену $%z = \frac1x$%, в итоге получилось такое:

$$\int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin z}{\sqrt{z} + 1 + \cos z} dz$$

Как теперь сделать вывод?

задан 8 Апр '16 15:07

изменен 8 Апр '16 19:59

2

@plitka, Вы неверно сделали замену... никакого логарифма при такой замене появляться не будет...

(8 Апр '16 16:32) all_exist

@all_exist, И правда, вместо производной $%\frac{1}{z}$% нашел первообразную. Сейчас посмотрю, что получится

(8 Апр '16 19:42) plitka

@all_exist, получилось так $$\int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin z}{\sqrt{z} + 1 + \cos z} dz$$

Как сделать вывод?

(8 Апр '16 19:48) plitka
1

Для абсолютной сходимости такого знаменателя не хватит... А для условной - признак Дирихле работает хорошо...

(8 Апр '16 20:02) all_exist

@all_exist, у вас есть идеи, как на абсолютную сходимость исследовать?

(8 Апр '16 22:46) plitka
10|600 символов нужно символов осталось
2

@plitka Для абсолютной расходимости Вы можете применить неравенство $%|\sin z|\geq sin^2z = \frac{1-cos2z}{2}$%

Надо заметить, что ваша функция эквивалентна $%\frac{sin z}{\sqrt{z}}\geq \frac{1-\cos2z}{2\sqrt{z}}$% на бесконечности. Теперь чтобы доказать расходимость, можно доказать расходимость этого интеграла от этой функции, а он представим в виде разности расходящегося и сходящегося (по Т. Дирихле): $% \int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{2\sqrt{z}}-\int\limits_{1}^{\infty}\frac{\cos2z}{2\sqrt{z}}$%.

ссылка

отвечен 8 Апр '16 23:06

изменен 9 Апр '16 0:27

@lugo, а почему второй интеграл сходится?...

(8 Апр '16 23:57) all_exist
3

@lugo, квадрат синуса надо было заменять по формуле косинуса двойного угла... тогда второй интеграл будет содержать косинус в первой степени и действительно будет сходится...

(9 Апр '16 0:03) all_exist
1

@all_exist, @plitka Да, действительно, сейчас поправлю

(9 Апр '16 0:07) lugo
1

@lugo: чисто стилистическая поправка -- не "делится на" (в математике это понятие зарезервировано под нечто другое по смыслу), а представляется в виде разности.

(9 Апр '16 0:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,042
×220

задан
8 Апр '16 15:07

показан
520 раз

обновлен
9 Апр '16 0:27

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru