Исследовать интеграл на абсолютную и условную сходимость:

$$\int\limits_0^1 \frac{sin(1/x)}{x^2 + \sqrt{x^3} + x^2cos(1/x)} dx $$

Сделал замену $%z = \frac1x$%, в итоге получилось такое:

$$\int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin z}{\sqrt{z} + 1 + \cos z} dz$$

Как теперь сделать вывод?

задан 8 Апр '16 15:07

изменен 8 Апр '16 19:59

2

@plitka, Вы неверно сделали замену... никакого логарифма при такой замене появляться не будет...

(8 Апр '16 16:32) all_exist

@all_exist, И правда, вместо производной $%\frac{1}{z}$% нашел первообразную. Сейчас посмотрю, что получится

(8 Апр '16 19:42) plitka

@all_exist, получилось так $$\int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin z}{\sqrt{z} + 1 + \cos z} dz$$

Как сделать вывод?

(8 Апр '16 19:48) plitka
1

Для абсолютной сходимости такого знаменателя не хватит... А для условной - признак Дирихле работает хорошо...

(8 Апр '16 20:02) all_exist

@all_exist, у вас есть идеи, как на абсолютную сходимость исследовать?

(8 Апр '16 22:46) plitka

"А для условной - признак Дирихле работает хорошо..."

$%\int\limits_1^{+\infty} \frac{\sin z}{\sqrt{z} + 1 + \cos z} dz$% А как доказать сходимость по признаку Дирихле?

(8 Июл 1:53) abc

Признак Дирихле можно применить, если выделить главную часть.

(8 Июл 10:10) caterpillar

Тут точно можно выделить главную часть? Скажем оценка $%\frac{\sin z}{\sqrt{z} + 1 + \cos(x)}=\frac{\sin z}{\sqrt{z}} \pm O(|\sin z| \cdot (\frac{1}{\sqrt{z}}-\frac{1}{\sqrt{z}+1}))$% не достаточна

(8 Июл 11:51) abc
1

Нет, вот так $%\frac{\sin z}{\sqrt z+1+\cos z}=\frac{\sin z}{\sqrt z}-\frac{\sin z(1+\cos z)}{z}+O\left(\frac{1}{z^{1,5}}\right)$%

(8 Июл 11:56) caterpillar

Интересное разложение.

Пробую доказать: $%\dfrac{1}{z+a}=\frac{1}{z}-\frac{a}{z^2}+O(\frac{1}{z^3})$%

или $%\dfrac{a^2}{(z+a)z^2}=O(\frac{1}{z^3})$%

Доказано

(8 Июл 12:28) abc

А зачем Вы делаете проверку? Сам вывод этого равенства по формуле Тейлора уже является доказательством.

(8 Июл 16:42) caterpillar

Что ни сообщение, то для меня открытие. Я думал ряд Лорана для f(z) это что-то для меня не постижимое, а оказывается это всего лишь ряд Тейлора в нуле для функции f(1/z) (доопределенной по непрерывности). Верно? Странно что его изучают отдельно, в отдельной дисциплине

(8 Июл 18:29) abc

Ну, это не ряд Лорана, т.к. тут есть дробные степени.. Да и вообще не ряд, а именно формула Тейлора. А формула верна в окрестности нуля и неважно, что туда подставлять.

(8 Июл 18:42) caterpillar

Понял. Но это формула Тейлора для другой функции. Не для $%\frac{1}{z+a}$% а для $%\frac{1}{1/u+a}$%. Для исходной же функции верна другая формула Тейлора $%\frac{1}{z+a}=1/a-z/a+O(z^2)$%

(8 Июл 19:10) abc

Тут нельзя говорить, что верно, а что не верно, без указания окрестности. Укажете окрестность, и, безусловно, какая-то из формул станет верна, а какая-то -- нет.

(8 Июл 19:25) caterpillar

Формулы Тейлора в окрестности бесконечности не существует в принципе никогда. В обоих формулах окрестность 0.

То есть формула Тейлора для функции $%\dfrac{\sin(z)}{\sqrt(z)+1+\cos(z)}$% это $%\dfrac{\sin(z)}{\sqrt{z}+1+\cos(z)}=1/2 z+O(z^{3/2})$% в окрестности нуля. А в окрестности бесконечности её нельзя вычислить прямо. Поэтому приходится находить формулу Тейлора в окрестности 0 для функции $%\dfrac{\sin(1/u)}{\sqrt{1/u}+1+\cos(1/u)}$% а потом делать замену u=1/z и тогда уже получается ваша формула, но её нельзя называть формулой Тейлора для функции $%\dfrac{\sin(z)}{\sqrt{z}+1+\cos(z)}$%

(8 Июл 19:31) abc

@caterpillar: мне понятен принцип выделения "главной части", но как именно Вы формально получаете это из формулы Тейлора? Я имею в виду формулу с участием O(1/z^{1.5}). Я вижу это дело так: выделили "главную часть"; вычли; посмотрели на результат; вычли второй раз; увидели точность приближения за счёт свойств О-символики.

(8 Июл 19:32) falcao

@falcao, $%\dfrac{1}{1+t}=1+t+O(t^2)$%, где $%t=\frac{1+\cos z}{\sqrt z}$%, а количество слагаемых в изначальной формуле прикидывается сразу, учитывая, что знаменатели будет домножаться ещё на один корень, так, чтобы под O оказалась та степень, которая в итоге нужна. Вот и получается, что достаточно двух слагаемых, а всё остальное загоняется в O-большое. Делать каждый раз проверки, выписывая по одному я не вижу смысла.

(8 Июл 19:40) caterpillar

@caterpillar Я с вами во всем согласен и все понял что вы делаете, но единственное с чем я не согласен с названием: "формула Тейлора для функции $%\dfrac{\sin(z)}{\sqrt{z}+1+\cos(z)} $%"

(8 Июл 19:41) abc

@abc, ну вот для t -- это формула Тейлора, с чего ей перестать быть таковой от подстановки вместо t всего, что туда подставлять можно? То, что в учебниках не говорят про окрестность бесконечности -- а какой в этом смысл? Формула подразумевает, что в рамках её применимости в неё можно подставлять всё. Например, $%\sin^2\frac{1}{x}+\cos^2\frac{1}{x}=1$% Вы не перестанете называть основным тригонометрическим тождеством?

(8 Июл 19:48) caterpillar

@caterpillar: да, это в принципе хороший способ, хотя я бы до его применения, скорее всего, не додумался.

(8 Июл 19:51) falcao

Так не вопрос, формулу $%\frac{\sin z}{\sqrt z+1+\cos z}=\frac{\sin z}{\sqrt z}-\frac{\sin z(1+\cos z)}{z}+O\left(\frac{1}{z^{1,5}}\right)$% можно называть формулой Тейлора. Но формулой Тейлора для функции $%\frac{\sin (1/u)}{\sqrt (1/u)+1+\cos (1/u)}$% в окрестности нуля. Либо её можно называть формулой Тейлора для функции $%\frac{\sin z}{\sqrt z+1+\cos z}$% в окрестности бесконечности, но такое словосочетание меня немного шокирует против этого я и возражал. Но если вдруг это общепринятая терминология, то беру назад свои возражения. Просто хотел прояснить.

(8 Июл 19:58) abc

@abc: я так понял объяснение, что рассматривается функция 1/(1+t)=1-t+O(t^2) при t=(1+cos(z))/sqrt(z) в окрестности нуля, так как t->0.

(8 Июл 21:03) falcao
1

@falcao, так и есть. У @abc, видимо недоумение вызывает, что, когда мы переходим к старой переменной, то называем это формулой Тейлора в окрестности бесконечности. Ну так это просто логично. Хотя напрямую, используя вычисление производных, такую формулу не получишь, ибо теорема Тейлора доказывается для конечных точек. Ещё могу добавить, что совсем необязательно вводить новую переменную, а работать сразу же со старой, главное, всю дорогу находиться в окрестности нуля.

(8 Июл 21:18) caterpillar
показано 5 из 24 показать еще 19
10|600 символов нужно символов осталось
3

@plitka Для абсолютной расходимости Вы можете применить неравенство $%|\sin z|\geq sin^2z = \frac{1-cos2z}{2}$%

Надо заметить, что ваша функция эквивалентна $%\frac{sin z}{\sqrt{z}}\geq \frac{1-\cos2z}{2\sqrt{z}}$% на бесконечности. Теперь чтобы доказать расходимость, можно доказать расходимость этого интеграла от этой функции, а он представим в виде разности расходящегося и сходящегося (по Т. Дирихле): $% \int\limits_{1}^{\infty}\frac{1}{2\sqrt{z}}-\int\limits_{1}^{\infty}\frac{\cos2z}{2\sqrt{z}}$%.

ссылка

отвечен 8 Апр '16 23:06

изменен 9 Апр '16 0:27

@lugo, а почему второй интеграл сходится?...

(8 Апр '16 23:57) all_exist
3

@lugo, квадрат синуса надо было заменять по формуле косинуса двойного угла... тогда второй интеграл будет содержать косинус в первой степени и действительно будет сходится...

(9 Апр '16 0:03) all_exist
1

@all_exist, @plitka Да, действительно, сейчас поправлю

(9 Апр '16 0:07) lugo
1

@lugo: чисто стилистическая поправка -- не "делится на" (в математике это понятие зарезервировано под нечто другое по смыслу), а представляется в виде разности.

(9 Апр '16 0:25) falcao
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,157
×236

задан
8 Апр '16 15:07

показан
800 раз

обновлен
8 Июл 21:18

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru