$$ \int\limits_0^{\pi} \frac{\ln x}{\sqrt{\sin x}} dx $$

задан 8 Апр '16 22:50

10|600 символов нужно символов осталось
1

Рассмотрим поведение интеграла вблизи каждой из двух особых точек.

Вблизи $%x=0$% имеет место эквивалентность $%\sin x\sim x$%, и в силу знакопостоянства функции можно рассматривать интеграл от эквивалентной функции $%\frac{\ln x}{\sqrt{x}}$%. Сделаем замену $%x=e^{-2t}$%, где $%t\to+\infty$%. Получится интеграл типа $%C\int_{\ast}^{+\infty}te^{-t}\,dt$%, где $%C$% -- константа. Он сходится, что легко увидеть после интегрирования по частям.

Вблизи точки $%x=\pi$% полагаем $%x=\pi-t$%, где $%t\to0$% справа. Здесь $%\ln x$% стремится к константе $%\ln\pi$%, и $%\sin x=\sin t\sim t$%, и для эквивалентной функции получается интеграл $%\int_0^{\ast}\frac{dt}{\sqrt t}$%, сходимость которого очевидна.

Значит, несобственный интеграл из условия сходится.

ссылка

отвечен 9 Апр '16 0:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×1,423
×298

задан
8 Апр '16 22:50

показан
771 раз

обновлен
9 Апр '16 0:05

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru