Исследовать на абсолютную и условную сходимость при всех значениях параметра a интеграл: sin(pi / x) * dx / (x * (1 - x)^a) от 0 до 1

задан 9 Апр '16 1:05

изменен 9 Апр '16 4:32

10|600 символов нужно символов осталось
0

$$\int\limits_0^1\frac{\sin\frac{\pi}x\,dx}{x(1-x)^a}$$

Сначала смотрим на поведение интеграла вблизи $%x=0$%. Здесь удобно сделать замену переменной $%y=\frac1x$%. Получится $%-\int\limits_1^{\infty}\dfrac{\sin\pi y\,dy}{y(1-\frac1y)^a}$%. Знаменатель здесь стремится к бесконечности, причём монотонно. Отсюда следует сходимость интеграла на бесконечности по признаку Дирихле. Абсолютной сходимости при этом нет, что проверяется стандартно (звучало за последние дни уже много раз -- можно не повторяться).

Теперь смотрим на поведение вблизи $%x=1$%, полагая $%t=1-x$%, что стремится к нулю справа. При этом $%\sin\frac{\pi}{1-t}=-\sin\frac{\pi t}{1-t}\sim-\pi t$%. С учётом $%x\sim1$%, интеграл с точностью до постоянного множителя эквивалентен такому: $%\int\limits_0^{\ast}\frac{dt}{t^{a-1}}$%, и для сходимости требуется $%a < 0$%.

ссылка

отвечен 9 Апр '16 16:33

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,212
×236
×200
×104

задан
9 Апр '16 1:05

показан
659 раз

обновлен
9 Апр '16 16:33

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru