|
1) $% \frac{\partial f (\overrightarrow{x}) }{\partial \overrightarrow{l}} = $% <$%grad f, \overrightarrow{l}$%> 2) $% |\frac{\partial f (\overrightarrow{x}) }{\partial ∇f}| = $% $%max_{\overrightarrow{l}} |\frac{\partial f (\overrightarrow{x}) }{\partial l}|$% (т.е что градиент как вектор частных производных указывает на направление наибольшего возрастания) задан 10 Апр '16 2:41 
stander |
|
Сразу следует из определений. Функция $%f:D\subseteq \mathbb R^n\to \mathbb R$% называется дифференцируемой в точке $%x_0\in D$%, если для некоторого вектора $%a\in \mathbb R^n$% и для достаточно малых приращений $%h$% аргумента, не выводящих из области $%D$%, справедлива оценка $%f(x_0+h)-f(x_0)=ah+o(|h|)$% - здесь $%ah \,\, \text{и} \,\,|h|$% скалярное произведение и соответственно длина вектора. Рассмотрим приращение не абы какое, а в направлении единичного вектора $%e$%. Тогда $%f(x_0+te)-f(x_0)=t\cdot ae+o(t)$%, откуда $%\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0+te)-f(x_0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}(ae + \frac{o(t)}{t})=ae. $% Этот предел и называется производной в направлении $%e$% и обозначается $%\frac{\partial f(x_0)}{\partial e}. $% Таким образом, $%\frac{\partial f(x_0)}{\partial e}=ae.$% Взяв в качестве $%e$% единичные векторы на осях, получим компоненты этого вектора $%a_i=\frac{\partial f(x_0)}{\partial e_i}$%, имеющие и другое обозначение и название: $%a_i=\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}$% - частные производные по переменным, а вектор $%a$% называют градиентом. Итак, 1) получено. 2) следует сразу из 1) и неравенства Коши-Буняковского. @stander, в коммент не умещается, потому добавляю: К-Б: $%|\frac{\partial f(x_0)}{\partial e}|=|ae|\leqslant |a||e|=|a|,$% причём равенство возможно только в случае коллинеарности векторов $%a$% и $%e$%, то есть градиента и направления. 2) не может быть определением градиента - это его свойство. Оно гарантируется при условии дифференцируемости функции. Существование частных производных по переменным (или даже в любом направлении) дифференцируемость функции не обеспечивают, о градиенте можно не заикаться. Бытует неверное псевдоопределение градиента, как вектора, составленного из частных производных. В таком случае в недифференцируемом случае может возникнуть конфуз - ни (1) ни (2) могут не выполниться. Хороший пример даёт функция $%\sqrt[3]{x^3+y^3}$%, она недифференцируема в нуле. Однако частные производные в нуле существуют и равны по 1 - то есть псевдоградиент смотрит вдоль биссектрисы 1-го координатного угла. Производная есть в любом направлении, eё модуль минимален в направлении псевдоградиента, а максимален вдоль осей. Причина конфуза - недифференцируемость. отвечен 10 Апр '16 6:17 
bot @bot: можете, пожалуйста, вкратце пояснить, как 2) следует из 1) и неравенства Коши-Буняковского. Просто я априори полагала, что 2) есть определение градиента, но это ошибка.
(10 Апр '16 11:34)
stander
@stander: градиент определяется как вектор из частных производных, а 2) -- это его свойство. Считая вектор направления единичным, из 1) заключаем по неравенству К - Б, что модуль левой части не больше длины (модуля) grad f. Равенство имеет место при совпадении направлений. Это и значит, что максимум модуля производной по направлению наблюдается в случае совпадения направления с градиентом.
(10 Апр '16 11:46)
falcao
@bot: "псевдоопределение" градиента как вектора из частных производных -- совершенно стандартная вещь. Это самый простой путь. А далее уже при доказательстве свойств могут потребоваться какие-то дополнительные условия типа дифференцируемости функции в точке, или того, что градиент ненулевой. Надо иметь в виду, что в разных изложениях те же самые понятия могут определяться по-разному (взять хотя бы понятие выпуклости функции).
(10 Апр '16 15:39)
falcao
|
