1) $% \frac{\partial f (\overrightarrow{x}) }{\partial \overrightarrow{l}} = $% <$%grad f, \overrightarrow{l}$%>

2) $% |\frac{\partial f (\overrightarrow{x}) }{\partial ∇f}| = $% $%max_{\overrightarrow{l}} |\frac{\partial f (\overrightarrow{x}) }{\partial l}|$% (т.е что градиент как вектор частных производных указывает на направление наибольшего возрастания)

задан 10 Апр '16 2:41

10|600 символов нужно символов осталось
2

Сразу следует из определений.

Функция $%f:D\subseteq \mathbb R^n\to \mathbb R$% называется дифференцируемой в точке $%x_0\in D$%, если для некоторого вектора $%a\in \mathbb R^n$% и для достаточно малых приращений $%h$% аргумента, не выводящих из области $%D$%, справедлива оценка $%f(x_0+h)-f(x_0)=ah+o(|h|)$% - здесь $%ah \,\, \text{и} \,\,|h|$% скалярное произведение и соответственно длина вектора.

Рассмотрим приращение не абы какое, а в направлении единичного вектора $%e$%. Тогда $%f(x_0+te)-f(x_0)=t\cdot ae+o(t)$%, откуда $%\lim\limits_{t\to 0}\frac{f(x_0+te)-f(x_0)}{t}=\lim\limits_{t\to 0}(ae + \frac{o(t)}{t})=ae. $% Этот предел и называется производной в направлении $%e$% и обозначается $%\frac{\partial f(x_0)}{\partial e}. $% Таким образом, $%\frac{\partial f(x_0)}{\partial e}=ae.$% Взяв в качестве $%e$% единичные векторы на осях, получим компоненты этого вектора $%a_i=\frac{\partial f(x_0)}{\partial e_i}$%, имеющие и другое обозначение и название: $%a_i=\frac{\partial f(x_0)}{\partial x_i}$% - частные производные по переменным, а вектор $%a$% называют градиентом. Итак, 1) получено.

2) следует сразу из 1) и неравенства Коши-Буняковского.

@stander, в коммент не умещается, потому добавляю:

К-Б: $%|\frac{\partial f(x_0)}{\partial e}|=|ae|\leqslant |a||e|=|a|,$% причём равенство возможно только в случае коллинеарности векторов $%a$% и $%e$%, то есть градиента и направления.

2) не может быть определением градиента - это его свойство. Оно гарантируется при условии дифференцируемости функции. Существование частных производных по переменным (или даже в любом направлении) дифференцируемость функции не обеспечивают, о градиенте можно не заикаться. Бытует неверное псевдоопределение градиента, как вектора, составленного из частных производных. В таком случае в недифференцируемом случае может возникнуть конфуз - ни (1) ни (2) могут не выполниться. Хороший пример даёт функция $%\sqrt[3]{x^3+y^3}$%, она недифференцируема в нуле. Однако частные производные в нуле существуют и равны по 1 - то есть псевдоградиент смотрит вдоль биссектрисы 1-го координатного угла. Производная есть в любом направлении, eё модуль минимален в направлении псевдоградиента, а максимален вдоль осей. Причина конфуза - недифференцируемость.

ссылка

отвечен 10 Апр '16 6:17

изменен 10 Апр '16 14:52

@bot: можете, пожалуйста, вкратце пояснить, как 2) следует из 1) и неравенства Коши-Буняковского. Просто я априори полагала, что 2) есть определение градиента, но это ошибка.

(10 Апр '16 11:34) stander

@stander: градиент определяется как вектор из частных производных, а 2) -- это его свойство. Считая вектор направления единичным, из 1) заключаем по неравенству К - Б, что модуль левой части не больше длины (модуля) grad f. Равенство имеет место при совпадении направлений. Это и значит, что максимум модуля производной по направлению наблюдается в случае совпадения направления с градиентом.

(10 Апр '16 11:46) falcao

@bot: "псевдоопределение" градиента как вектора из частных производных -- совершенно стандартная вещь. Это самый простой путь. А далее уже при доказательстве свойств могут потребоваться какие-то дополнительные условия типа дифференцируемости функции в точке, или того, что градиент ненулевой.

Надо иметь в виду, что в разных изложениях те же самые понятия могут определяться по-разному (взять хотя бы понятие выпуклости функции).

(10 Апр '16 15:39) falcao

@falcao, стандартная, если функция дифференцируема, если же нет (хотя частные производные существуют), то бесполезная и даже вредная, так как способна ввести в заблуждение.

(11 Апр '16 9:32) bot
10|600 символов нужно символов осталось
2

$%2)\Rightarrow 1)$% $$ \frac{\partial f}{\partial \bar{l}}=\nabla f\cdot\bar{l} = |\nabla f|\cdot\cos\phi \quad\text{при}\;\; |\bar{l}|=1 $$ следовательно, максимум достигается при значении $%\cos\phi=1$%...

ссылка

отвечен 10 Апр '16 13:05

10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×3,732
×19

задан
10 Апр '16 2:41

показан
1651 раз

обновлен
11 Апр '16 9:32

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru