комбинаторика - Количество шестизначных комбинаций

Ответ в задаче зависит от того, что следует понимать под "комбинацией". Рассмотрим две версии задачи.

1. Рассматриваются размещения с повторениями. Их всего имеется $%117^6$%: на каждом из $%6$% мест располагается один из $%117$% символов. Но у нас есть ограничения на количество повторений символа. Прежде всего, нужно вычесть количество таких размещений, где все символы одинаковы. Их ровно $%117$%. Далее, нужно вычесть ещё количество случаев, когда $%5$% символов совпадают, а один от них отличается. Здесь мы $%117$% способами указываем повторяющийся символ, далее $%116$% способами задаём тот символ, который встречается один раз, и $%6$% способами выбираем для него место. Эти величины надо перемножить по правилу произведения. В итоге получается $%117^6-117-117\cdot116\cdot6=2565164120220$%.

2. Теперь рассмотрим вариант сочетаний с повторениями -- когда важен лишь состав выбираемых символов, но не их расположение на местах. Всего таких вариантов имеется $%\overline{C}{117}^6$%, то есть $%C{122}^6=4042116078$%, с учётом известной формулы $%\overline{C}n^m=C{n+m-1}^m$%. Теперь надо вычесть $%117$% вариантов, когда все символы одинаковы, и $%117\cdot116$% вариантов, когда $%5$% символов одинаковы, а один от них отличается. Ответом здесь будет $%4042116078-117-117\cdot116=4042102389$%.

То решение, которое здесь было предложено, и где осуществляется деление на $%4!$%, не соответствует условию задачи. Если каждый символ "клонировать" и превратить в четыре (скажем, $%a$% в $%a_i$%, $%i=1,2,3,4$%), то деление на $%4!$% будет чему-то соответствовать лишь при условии, если мы берём именно $%4$% одинаковых символа. Но их ведь может быть и меньше, в результате чего делить надо на какое-то другое число, причём оно разное в разных ситуациях.