При каких значениях параметра P сечение конуса $%x^2 + y^2 = z^2$% плоскостью $%x + y + P\cdot z = 1 $% является гиперболой?

Добавлено:

В очередной раз спасибо. Ситуация начинает проясняться. Но всё же осталась некоторая непонятка с сечением: как раз параллельно оси конуса получится гипербола, а параллельно образующей - парабола. Вот рисунок:

alt text

Или я путаю ось с образующей?

задан 31 Окт '12 11:28

изменен 31 Окт '12 19:41

Deleted's gravatar image


126

Видимо, я все же запуталась! Параллельно готовлю доклад на семинар, голова занята другим! Удалю свой ответ.

Если будет время - напишу, но Вы, думаю, сами разберетесь. Главное, что гипербола бесконечна, но не является параболой (тут можно исключить вариант, ошибочно полученный мною ранее)

(31 Окт '12 15:45) DocentI

Всё равно Вам большое спасибо. Самое важное - метод решения. Ясно, где копать и как копать. :)

(31 Окт '12 17:10) Крут Дёгель

На самом деле парабола была получена не зря. Это направление отделяет гиперболы от эллипсов. Если $%|P| =\sqrt 2$%, сечение - парабола, если больше - плоскость проходит более полого, получаем эллипс. Если меньше - параболу.

(31 Окт '12 22:39) DocentI
10|600 символов нужно символов осталось
3

Пусть, конус образован вращением вокруг оси $%Oz$% прямой, проходящей через начало координат и составляющей с осью $%Oz$% угол $%\Theta$% .
Пересечем этот конус плоскостью, наклоненной к оси $%Oz$% под углом $%\alpha$%.
Будем считать сначала, что $%0 \le \alpha \le \pi/2$% .
При $%0 \le \alpha \lt \Theta$% получается гипербола (частный случай - две пересекающиеся прямые, если плоскость проходит через начало координат).
При $% \alpha = \Theta$% (плоскость параллельна образующей) получается парабола (частный случай - одна прямая, если плоскость проходит через начало координат).
При $% \Theta \lt \alpha \le \pi/2$% получается эллипс (частный случай - точка, если плоскость проходит через начало координат.
Случай $%\pi/2 \lt \alpha \le \pi$% рассматривается аналогично .

Это все возможные варианты конических сечений, они же все варианты возможных линий второго порядка.

В данном случае $% \Theta = \pi/4$%, а угол $%\alpha$% получается из условия $% cos(\pi/2-\alpha)=\frac{(\vec{e_z} \cdot \vec{n})}{|\vec{e_z}| \cdot |\vec{n}|}$%, где $%\vec{e_z}=(0,0,1)$%, а $%\vec{n}=(1,1,P)$%, откуда $% sin(\alpha)=\frac{P}{\sqrt{P^2+2}}$%.

Из этих результатов легко получается ответ задачи.

ссылка

отвечен 31 Окт '12 15:13

изменен 31 Окт '12 17:43

Спасибо. Тоже интересный метод решения. Ответ для параболы совпал с решением Docentl. Беру оба способа на вооружение. :)

(31 Окт '12 17:25) Крут Дёгель
10|600 символов нужно символов осталось
Ваш ответ

Если вы не нашли ответ, задайте вопрос.

Здравствуйте

Математика - это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.

Присоединяйтесь!

отмечен:

×613

задан
31 Окт '12 11:28

показан
1331 раз

обновлен
31 Окт '12 22:39

Отслеживать вопрос

по почте:

Зарегистрировавшись, вы сможете подписаться на любые обновления

по RSS:

Ответы

Ответы и Комментарии

Дизайн сайта/логотип © «Сеть Знаний». Контент распространяется под лицензией cc by-sa 3.0 с обязательным указанием авторства.
Рейтинг@Mail.ru